Montrer que une fraction n'est pas entière

[rabirodin]

Bonjour

Soit l'expression (3ⁿ-2ⁿ)/(2^m-3ⁿ) avec n et m entiers.
Alors je dois monter que pour m supérieur à n, il n'y a de solutions à part le couple (n,m)=(1,2) telle que l'expression soit un nombre entier.
Toutes vos suggestions seront les bienvenues.


Merci.
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[gg0]

Bonjour.
Il doit y avoir au moins une hypothèse supplémentaire, car pour m=n

ce qui donne une infinité de solutions (1,1), (2,2), (3,3), etc.

Cordialement.

[MissJenny]

il y a aussi des solutions avec n=0

[rabirodin]

Ré bonjour
Oui, il est dit dans l'énoncé que m est supérieur(strictement) à n.

[A voir en vidéo sur Futura]

[rabirodin]

D'accord.
J'ai oublié de préciser que n et m sont strictement supérieurs à 0

[MissJenny]

n = 2 et m = 3 donne -5. Tu as encore oublié une condition...

[jacknicklaus]

n = 2 et m = 3 donne -5. Tu as encore oublié une condition...

ou bien ce n'est pas l'expression (3^n-2^n)/(2^m-3^n)

[rabirodin]

Oups.
En effet j'ai oublié plusieurs conditions.
Voici l'énoncé tel qu'il doit être.
Soit t=(3ⁿ-2ⁿ)/(2^m-3ⁿ)
Avec n et m entiers positifs et n< m.
Montrer que t n'est pas un entier positif pour tout (n,m) différent de (1,2).

[gg0]

MissJenny t'a montré que c'est faux...

[jacknicklaus]

MissJenny t'a montré que c'est faux...

euh, non...
l'exemple de MissJenny donne t = -5, ce qui en effet n'est pas un entier positif. (entre temps, rabirodin a rajouté la condition t > 0)

[gg0]

Ah, effectivement, j'ai raté ce mot.

[Biname]

Salut,

gg0 a montré que pour m = n



m > n, on peut toujours écrire m = n + a avec a entier positif et a > 0



il suffit maintenant de démontrer que le dénominateur de (2) est toujours plus grand que celui de (1)

ce qui est facile à démontrer

t est toujours -1 < t <= 0 ou ]-1, 0]

Biname

[gg0]

Bonjour Biname.

J'ai bien peur que cela ne soit pas facile, une fois rectifiée l'inégalité (*) : Il faudrait démontrer que . Ce qui est faux par exemple pour et ou .

En fait, il n'y a à considérer que les m tels que , ce qui revient à, car sinon, la fraction est négative, donc ne peut pas être un entier positif. Mais ça ne réduit pas vraiment le problème.

Cordialement.

(*) est vrai dès que n>0 et le second membre positif, puisque le premier est négatif.

[Biname]

gg0 : oui, je l'ai vu juste après avoir posté,
mais si le dénominateur est négatif, alors t est négatif car le numérateur lui est toujours positif (3^n - 2^n) > 0 si n > 0

[gg0]

Oui, c'est ce que je disais (" il n'y a à considérer que ...").

[jacknicklaus]

en effet pas facile. Par exemple t(n=10,m=16) = 58025/6487 = 8.944813, soit un nombre positif, d'ailleurs proche d'un entier. Des arguments de comparaisons basiques me semblent voués à l'échec.

[Biname]

Voici un code python et ses résultats : pour m = 500, temps d'exécution < 1 seconde.

Reste de la division de (3^n - 2^n)/(2^m - 3^n) pour m > n et 1 < m < m_max = 500

reste num/den : f(2, 1) = 0
reste num/den : f(3, 2) = 0

Counts restes : {'= 0': 2, '< 0': 45975, '> 0': 78773, 'denom = 0': 0}

 Cliquez pour afficher

def calcul_f(m, n, count):
    num = 3 ** n - 2 ** n
    den = 2 ** m - 3 ** n
    signe = -1 if den < 0 else 1 if den > 0 else 0
    den = abs(den)
    # Vérifier si le dénominateur est différent de zéro
    if den != 0:
        reste = num % den
        if reste == 0:
            count["= 0"] += 1
        elif signe < 0:
            count["< 0"] += 1
        elif signe > 0:
            count["> 0"] += 1
        return signe, reste
    count["none=inf"] += 1
    return None, None       # le dénominateur n'est nul que pour m = n = 1

# Initialisation du tableau
tableau = []

# Initialisation du compteur
count = {"= 0": 0, "< 0": 0, "> 0": 0, "denom = 0": 0}

m_max=200
n_max = m_max - 1
# Boucle pour générer les valeurs de f(m, n)
for m in range(2, m_max + 1):           # m de 2 à m_max
    for n in range(1, m):       # n de 1 à m-1
        signe, reste = calcul_f(m, n, count)
        if signe == -1:
            reste = -reste
        tableau.append(((m, n), reste))


print (f"\nReste de la division de (3^n - 2^n)/(2^m - 3^n) pour m > n et 1 < m < m_max = {m_max}\n")
# Affichage du tableau
for entry in tableau:
    (m, n), reste = entry
    if reste == 0:
        print(f"reste num/den : f({m}, {n}) = {reste}")

# Affichage du compteur
print(f"\nCounts restes : {count}\n")

[rabirodin]

Bonjour et merci à tous pour vos suggestions.
Vu la non simplicité du problème, je vais essayer de me concentrer sur des méthodes informatiques comme celle de biname d'autant plus que mon m est limité à 100000.
Encore une fois merci à tous pour vos réponses.

[Liet Kynes]

en effet pas facile. Par exemple t(n=10,m=16) = 58025/6487 = 8.944813, soit un nombre positif, d'ailleurs proche d'un entier. Des arguments de comparaisons basiques me semblent voués à l'échec.

Il n'y a que ces nombres à tester en fait : https://oeis.org/search?q=7%2C5%2C47...lish&go=Search

[gg0]

Le "que" est un peu ridicule pour parler d'une infinité de cas. Et il n'y a aucune raison que le dénominateur soit minimal.

[gg0]

Pour être plus clair, rien n'oblige m, dans 2^m-3^n à être le plus petit entier qui rend 2^m-3^n positif.

[Liet Kynes]

Effectivement , j'ai caculé quelque chose de différent (-> rien à voir)

Par contre on peut déterminer un intervalle des nombres 2^m-3^n éligible au test en fonction de n, non ?

[Liet Kynes]

Le "que" est un peu ridicule pour parler d'une infinité de cas. Et il n'y a aucune raison que le dénominateur soit minimal.

J'ai relu ton message et je ne suis plus sûr de comprendre car finalement si c'est un entier positif que l'on recherche, il s'agit donc bien de considérer m sur les nombres de la suite https://oeis.org/A063003

Pour 3^n-2^n= 65 on a n=4, 3^n=81 la plus grande puissance de 2 après 81 c'est 128 et 128-81=47: 47 correspond à la valeur de m de 7: c'est la première valeur positive pour le diviseur. Les valeurs positives au delà de cette valeur sont supérieures au dividende donc on ne peut pas avoir d'entier naturel résultat de la fraction au-delà.

Je n'ai pas compris une étape dans le problème ?

[gg0]

Ben ... 256-81 = 175 peut tout à fait être un dénominateur. Pourquoi ne considérer que le premier m pour lequel 2^m-3^n est positif ?

[Liet Kynes]

Si on veux un entier, mettre comme dividende un nombre inférieur au diviseur cela ne marche plus.
C'est bien la formule 3^n-2^n/2^m-3^n qui est considérée ?

pour n=4, m=8 on a 65/175<1

[gg0]

Oui, et alors ?
Tu as une idée (fausse) en tête, tu t'y tiens, sans accepter de réfléchir sérieusement. Pourquoi une seule valeur de m serait-elle acceptable, une fois n donné ?

[MissJenny]

il y a quand-même un théorème qui dit que si le nombre a est assez grand, il y a au plus un couple d'entiers (m,n) tel que 2^m - 3^n = a. Comme a doit être un diviseur de 3^n - 2^n ça limite les possibilités (quoique rien ne dit que a doive être "grand").

[Liet Kynes]

Oui, et alors ?
Tu as une idée (fausse) en tête, tu t'y tiens, sans accepter de réfléchir sérieusement. Pourquoi une seule valeur de m serait-elle acceptable, une fois n donné ?

C'est pas faux, j'ai été trop vite en pensant qu'il y avait une formule, à priori c'est de la théorie des nombres pas fastoche.. si on considère la suite des nombres de la forme 2^n ou 3^n, cela reviendrait un peu à conjecturer le nombre de nombres puissance de 2 entre deux nombres puissance de 3 ?

[Biname]

Salut,

Rappel de l'énoncé : m, n, p entiers positifs
n>0, m>n, p>0 et t(n,m) = t(n, n+p) = (3^m - 2^n)/(2^(n+p) - 3^n)

Notre équation :

peut s'écrire sous une autre forme :

Voir plus sur Wolfram Alpha
Démo :

 Cliquez pour afficher

Démo à l'envers :                                                        

             n    n        n   /  n(log(2) - log(3))     \
            3  - 2        3  * \ e                   - 1 /
  t(n,p) =  ----------- = --------------------------------
             n + p    n            n    n + p 
            2      - 3            3  - 2 

                 /  (log(2^n) - log(3^n))     \
            3  * \ e                      - 1 /
  t(n,p) =  -----------------------------------
                       n     n + p 
                      3  -  2 

             n    n        n   /  log((2^n)/(3^n))     \
            3  - 2        3  * \ e                 - 1 /
  t(n,p) =  ----------- = ------------------------------
             n + p    n            n    n + p 
            2      - 3            3  - 2 

             n    n        n   /  n   n      \
            3  - 2        3  * \ 2 / 3   - 1 /
  t(n,p) =  ----------- = --------------------
             n + p    n        n    n + p 
            2      - 3        3  - 2 

             n    n         n       n      n    n
            3  - 2         2    -  3      3  - 2
  t(n,p) =  ----------- = ----------- = -----------
             n + p    n    n    n + p    n + p    n
            2      - 3    3  - 2        2      - 3

Wolfram racine du dénominateur
Ca ne change rien de fondamental mais cela inspirera peut-être certains.
Bname

[MissJenny]

mais pourquoi cherches-tu la solution en p de 2^(n+p)-3^p=0 ? une puissance entière de 2 ne peut jamais être égale à une puissance de 3.

en réalité, du fait de la conjecture de Catalan (démontrée maintenant) on sait que le dénominateur (d'un contre-exemple) doit être supérieur à égal à 3.