inversion de projecteurs

[Perelman13]

Bonjour,

Soient p,q deux projecteurs de Rⁿ
On suppose que p - q est inversible montrer que

1)Id - poq est inversible
Je cherche à montrer que Ker(Id - poq)={O} mais je parviens pas à grand chose..

2)(Id - p) - (Id - q) est inversible
celle ci est plutôt facile

3)En déduire que p + q - qop est inversible là je bloque complet

Si vous avez des indications, conseils je suis preneur
merci à vous pour l'aide, bon WE
-----

[erff]

Bonjour,

Pour la 1)

* On peut montrer que
Soit x dans alors p(x)-q(x)=x-x=0 donc x=0 car p-q est inversible.
Donc, tout élément de Im(q) appartient à Ker(p)

* Soit x un élément de R^n. Supposons poq(x)=x
Alors x=poq(x)=p(q(x))=0 car q(x) appartient à Ker(p) donc x=0

Donc id-poq est inversible.


L'énoncé de la question 2) me paraît louche car cela revient à montrer que q-p est inversible ce qui est déjà donné par l'énoncé.

Sauf erreur ...

[GBZM]

Bonjour,

Il y a erreur

Donc, tout élément de Im(q) appartient à Ker(p)

Le "donc" est faux.

Pour une solution correcte voir
https://www.ilemaths.net/sujet-inver...ur-891154.html

[erff]

Bonsoir,

Et merci GBZM car il semble que je suis tombé dans le piège de conclure que si R^n=A++B = A++C (je note ++ pour somme directe) alors B=C, ce qui est faux en général (dans cet exo on "voit" que R^n=Im(p)++Im(q) = Im(p)++Ker(p) => c'était tentant ).
Prendre R^2 avec [(1,0), (0,1)] ou avec [(1,0), (1,1)] pour s'en convaincre.

Au moins je pense que je n'aurais pas induit en erreur le demandeur puisque la réponse lui avait déjà été fournie par ailleurs.

Bonne soirée

[A voir en vidéo sur Futura]