Plan de Fano

[La Limule]

Bonjour,
Je lis dans wikipedia que le plan de Fano est le plus petit plan projectif construit sur le groupe fini F2 = Z/2Z
Que c'est celui avec le plus petit nombre de points et de droites (7 si j'ai bien lu).
Si j'ai bien compris on par de l'espace a 3 dimensions sur R privé de l'origine et on considere les classes d'équivalence
modulo la colinéarité. et on appelle point une classe d'équivalence.
Qu'appelle et plan? et pourquoi ce 7. Bien sur c'est 2 (comme F2) a la puissance 3 (comme l'espace sur R) moins 1.
J'ai du mal a mettre tout ca ensemble.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Plan_de_Fano
Merci pour votre aide.
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[gg0]

Bonjour.

Tu devrais lire la page Wikipedia que tu cites, elle ne dit pas qu'on part de l'espace à 3 dimensions.
Pour retrouver la même construction que celle de l'espace projectif réel, que tu copies dans ton message, regarde la première méthode de définition.

Cordialement.

[La Limule]

Merci pour cette réponse. Comme il y a deux définitions équivalentes je conservait (a tort) a l'esprit la notion de colinéatité quelque part
ou on n'en avait pas besoin.
Bonne semaine.

[GBZM]

Bonsoir,
Tu peux conserver la notion de colinéarité, qui intervient pour la définition des espaces projectifs. Mais sur le corps , deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement s'ils sont égaux (le seul scalaire non nul est 1).

[A voir en vidéo sur Futura]

[La Limule]

Le plan de Fano contient 7 points et 7 droites avec une numérotation supposée donnée.
Ce qui m'intéresse c'est le groupe G des permutations de points conservant les alignements de 3 points.
Il y a évidemment l'identité qui en fait partie et si je ne me trompe pas l'envoi des éléments numérotés n sur les
ceux numérotés n+1 modulo 7.
Comment prouver que l'on a un sous groupe A de G avec les permutations laissant au moins un élément invariant. (un par permutation) et quel est le cardinal de A?

[La Limule]

J'ai découvert ce problème dans cet article:
https://math.dartmouth.edu/~doyle/docs/drum/drum.pdf
C'est a la page 8 quand Conway parle des stabilisateurs.

[GBZM]

Le théorème fondamental de la géométrie projective (assez mal nommé) nous dit que les seules transformations du plan de Fano qui conservent l'alignement sont les homographies du plan. (Remarquer que le corps n'a pas d'autre automorphisme que l'identité !).
Le groupe des homographies du plan de Fano est (isomorphe à) . Il a 168 éléments.
Une homographie du plan de Fano est entièrement déterminée par la donnée des images des trois "sommets du triangle", qui doivent être trois points non alignés.

[La Limule]

Et pour les sous groupes stabilisants?

[GBZM]

Vu que le groupe des homographies agit transitivement sur le plan, le stabilisateur de chaque point est d'indice 7, et a donc 24 éléments. What else ?

[La Limule]

Dans le post 6 Conway donne 3 collinéations des points du plan de Fano notées a, h, et c:
a = (0 1)(2 5)
b = (0 2)(3 4)
c = (0 4)(1 6)
Chacune laisse 3 points inchangés. Si l'on compose deux d'entre eux il y a toujours 1 point restant invariant.
Si on continue en regardant ce qu'ils génerent , on n'a plus des invariants.
Comment montrer que ca génère un sous groupe de toutes les collinéations?
Il donne également a' b' c' agissant sur les lignes de facon duale.
Quelle est cette dualité?
Merci.

[La Limule]

Si vous vous reportez au lien donné dans le post 6 on peut voir que j'ai mal recopié ce que sont a b et c:
a = (0 1)(2 5)
b = (0 2)(4 3)
c = (0 4)(1 6)
Bien sur échanger (3 4) et (4 3) revient au meme
mais les auteurs donnent une indication géométrique pout la situation des triangles dans la figure 2 a gauche page 3.
Dans chaque parenthèse le terme de droite est toujours plus pres du trianle 0 central.
On notera le rapport tres direct avec les lignes du plan de Fanon:
Dans la figure 2 a gauche prenez le point le plus haut du triangle 5 et traces une ligne verticale: elle tranverse l
les triangles 5 2 et 3
prenez de meme les deux autres points les plus extérieurs de l'hélice et tracez une droite perpendicuaire a sa base
et vous retrouverez 3 des "lignes" du plan de Fano.
A droite de la figure 2 on trouve la figure duale générée par
a' = (0 4)(2 3)
b' = (0 1)(4 6)
c' = (0 2)(1 5)
et ce qui est trés étonnant c'est qu'en faisant ca (meme avec des triangles non équilatéraux) on construit
des tambours isospectraux. Une fonction solution de l'équation de laplace sur le tambour de gauche se
transplante pour la meme valeur propre sur le tambour de droite.

[La Limule]

Il y a un point que j'aimerais voir démontré.
je rappelle les notations:
on trace un triangle avec ses médianes qui se coupent en un point numéroté 0.
on choisit un milieu de coté auquel on attribue le numéro 1 et en partant de ce point place en faisant le tour du triangle (peu importe le sens) ces nombres: 6 4 3 2 5 (les sommets ont donc pour numéro 6 3 et 5)
Maintenant on va agir sur ces nombres par les permutations suivantes:
a = (0 1)(2 5)
b = (0 2)(4 3) et
c = (0 4)(1 6)
un mot tel que abacbabcba par exemple va donner une certaine numéroation des 7 points.
j'aimerais prouver que toutes les configurations de collinéations ne sont pas atteintes
par exemle celle ou on atteint la numération de départ ayant subi l'action de
a' = (0 1)(4 6) qui donne bien une collineation du plan de Fano.