Transformée de Laplace d'une rampe de 0 à T

[Laurent256]

Bonjour à tous,

Je vous sollicite pour un problème de math / automatique de bac + 3.
Merci d'avance

On a le signal x(t) défini par*:
x(t) = t si t est compris entre 0 et T (T = constante)
x(t) = 0 sinon

J'ai déjà décomposé ce signal comme la sommes de 3 fonctions simples (2 rampes et un heaviside)*; j'ai ensuite trouvé la transformée de Laplace de x(t).

Mais je dois le faire aussi par une autre méthode*:
1 – exprimer x(t) comme le produit simple d'une rampe et d'un créneau
réponse*: x(t) = t . pi((t – T/2) / T)
pi étant la fonction créneau de base

2 – Trouver X(p) par le produit de convolution

Dans mon formulaire, je n'ai pas la transformée de Laplace d'un produit simple f.g .
Mais j'ai ça*:
Transformée de Laplace de (f*g) = F.G
et je ne vois pas où il apparaît le produit de convolution*: je ne vois pas l'intérêt de faire le produit de convolution de deux fonctions temporelles.

Merci*!
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[Resartus]

Bonjour,
Cela marche aussi dans le sens inverse : TL(f.g)=F*G. Je suppose que c'est ce calcul qu'on attend de vous

[Laurent256]

Hello,

Ok, merci Resartus !
C'est bien cette formule qui va me servir. Je vais étudier ça.

[gg0]

Bonjour.

La transformation du produit en convolée, c'est pour la transformée de Fourier, pas la transformée de Laplace. Il suffit de regarder ce que ça donne pour f(t)=g(t)=t, le produit de convolution n'existe même pas (il existe toujours en temporel puisqu'on annule en temps négatif).
Je ne sais pas trop ce que veut faire l'auteur de l'exercice.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Resartus]

Oups,
En effet gg0. J'avais écrit une grosse bêtise.

[stefjm]

L'équivalent existe mais c'est un peu plus chiant compliqué que pour la TF.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Transf...ion_de_Laplace

[Laurent256]

Hello,
Merci, gg0 et Stefjm,

En faisant une première recherche, je n'ai pas trouvé de formule pour TL(f.g).
J'ai juste ça :
"La transformée de Laplace d'un produit de fonctions n'est pas le produit des transformées ! "

Donc je sèche ...

Ou une autre idée pour utiliser le produit de convolution, avec cet énoncé ?
Merci,

[Laurent256]

Hello,
Si certains se posent la question :
Voici la méthode validée (et plutôt simple) que j'ai faite en premier et seul :
Décomposer x(t) en une somme de 3 fonctions x1 , x2, x3
x1 = rampe de pente 1
x2 = rampe de pente - 1 , commençant à t = T ; ça "annule" x1
x3 = Heaviside d'amplitude - T, commençant à t = T
Trouver L pour chacune de ces 3 fonctions.
Puis L(x) = X1 + X2 + X3

En revanche, je ne trouve pas de formule simple pour L(produit de deux fonctions temporelles) : je sèche !
Qui peut m'aider ?
Merci

[Laurent256]

Sur la page wikipédia :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Transf...ion_de_Laplace
"Tableau résumé des propriétés de la transformation de Laplace"
Je viens de trouver une formule pour TL (f.g).
Mais elle me semble compliquée (bien plus difficile que le reste de l'exercice).
J'ai du mal à comprendre ...

[stefjm]

Oui, c'est bien la relation que je vous ai indiquée et j'avoue que je ne m'en suis jamais servie parce que trop chiante.

Ceci-dit, c'est peut-être utilisable dans votre cas. Je n'ai eu le courage de vérifier.

[gg0]

Encore faut-il connaître l'intégration dans le plan complexe ... et on ne trouve pas "par le produit de convolution".

[Laurent256]

Ok, merci pour ces précisions,

En fait, cela nécessite effectivement de faire une intégrations avec une variable complexe : je n'ai jamais fait ça.
Je me demande s'il n'y a pas une erreur d'énoncé / une erreur sur le niveau demandé.
Surtout que je fais sans souci le reste de cette feuille d'exercice sur Laplace.

[gg0]

C'est le plus probable. Si tu as une correction de cette question, je suis intéressé.

Cordialement.

[stefjm]

Le point m'intéresse aussi.

[Laurent256]

Hello,
Désolé, je n'ai pas le fin mot de l'histoire.
Peu de chances que j'ai la correction,
Dommage,

[stefjm]

Demande en direct au prof, car c'est quand même un peu curieux.

[Laurent256]

Hello,
Si j'ai une réponse, je la mettrai ici.
Mais j'ai peu d'espoir, désolé,

[stefjm]

Merci.
C'est quoi cette formation bizarre où les enseignants ne répondent pas aux questions précises de leurs étudiants?

[Laurent256]

Hello,
En fait, je ne fais qu'aider un étudiant que je connais.
Je ne pense pas avoir le fin mot de l'histoire, désolé ...