Valeurs propres du Frobenius.

**Anonyme007** · 12/07/2023, 00h15

Bonsoir à tous,

On considère le corps fini à $\text{[math]}$ éléments $\text{[math]}$ .
Le morphisme de Frobenius $\text{[math]}$ est un endomorphisme du $\text{[math]}$ - espace vectoriel $\text{[math]}$ et vérifie, $\text{[math]}$ .
Le polynôme $\text{[math]}$ est le polynôme caractéristique de $\text{[math]}$ .
Les valeurs propres de $\text{[math]}$ sont les racines du polynôme $\text{[math]}$ .
Comment obtient-t-on ces racines de $\text{[math]}$ qui représentent les valeurs propres de $\text{[math]}$ ? Doivent-elles appartenir à $\text{[math]}$ ou bien à $\text{[math]}$ ? Pourquoi ?

Merci d'avance.

**MissJenny** · 12/07/2023, 00h55

je sais le faire dans le cas p=2

**Anonyme007** · 12/07/2023, 01h41

Peux tu me montrer s'il te plaît pour le cas $\text{[math]}$ ?
Merci d'avance.

**Anonyme007** · 12/07/2023, 03h19

Je propose une conjecture, mais, je ne sais pas la vérifier,

Conjecture,
Les valeurs propres de $\text{[math]}$ sont de la forme, $\text{[math]}$ avec, $\text{[math]}$ .

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**MissJenny** · 12/07/2023, 06h59

Envoyé par Anonyme007

Peux tu me montrer s'il te plaît pour le cas $\text{[math]}$ ?

... est-ce que tu poses la question sérieusement??? (j'aurais dû mettre un smiley peut-être)

**syborgg** · 12/07/2023, 12h36

Envoyé par Anonyme007

Bonsoir à tous,

On considère le corps fini à $\text{[math]}$ éléments $\text{[math]}$ .
Le morphisme de Frobenius $\text{[math]}$ est un endomorphisme du $\text{[math]}$ - espace vectoriel $\text{[math]}$ et vérifie, $\text{[math]}$ .
Le polynôme $\text{[math]}$ est le polynôme caractéristique de $\text{[math]}$ .
Les valeurs propres de $\text{[math]}$ sont les racines du polynôme $\text{[math]}$ .
Comment obtient-t-on ces racines de $\text{[math]}$ qui représentent les valeurs propres de $\text{[math]}$ ? Doivent-elles appartenir à $\text{[math]}$ ou bien à $\text{[math]}$ ? Pourquoi ?

Merci d'avance.

Pour n non divisible par p, le polynome caracteristique n;a pas de racines doubles (voir les racines du polynome derive), donc pour un tel n > p, ses racines ne peuvent pas etre toutes dans F_p.

**Anonyme007** · 12/07/2023, 19h10

Merci syborgg et MissJenny pour vos réponses.

@syborgg,
1 - Est ce que tous les éléments de $\text{[math]}$ sont des valeurs propres de $\text{[math]}$ ?
2 - Est ce que $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ , sont des valeurs propres de $\text{[math]}$ ?

J'espère que vous connaissez la réponse ?

Merci d'avance.

**syborgg** · 12/07/2023, 19h34

Comment sont caracterisés les elements de F_p ?

**Anonyme007** · 12/07/2023, 20h20

Envoyé par syborgg

Comment sont caracterisés les elements de F_p ?

Ils sont caractérisés par la propriété suivante, $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . ( Little Fermat theorem ).
D'où, $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .
D'où, $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .
D'où, $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est valeur propre de $\text{[math]}$ ?
Est ce que c'est ça ?

Est ce que $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ , sont des valeurs propres de $\text{[math]}$ ?

Merci d'avance.

**Anonyme007** · 12/07/2023, 20h37

Envoyé par Anonyme007

Est ce que $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ , sont des valeurs propres de $\text{[math]}$ ?

Je pense que oui, car, pour tout $\text{[math]}$ on a, $\text{[math]}$ , et donc, $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ , sont des valeurs propres de $\text{[math]}$ .
Est ce que c'est ça ?

**Anonyme007** · 12/07/2023, 21h43

Bonsoir,

Soit, $\text{[math]}$ le sous espace propre de $\text{[math]}$ associé à la valeur propre $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ avec, $\text{[math]}$ .

Soit, $\text{[math]}$ le sous espace de $\text{[math]}$ invariant par $\text{[math]}$ .

Comment montrer que, $\text{[math]}$ ?

Merci d'avance.

**MissJenny** · 13/07/2023, 05h29

ton endomorphisme est inversible puisqu'une de ses puissances est l'identité, donc tu sais déjà que 0 n'est pas l'une de ses valeurs propres.

**syborgg** · 13/07/2023, 12h14

Ouups dans #6 j'ai dis une grosse annerie, j'espere que tout le monde s'en est rendu compte...

**syborgg** · 13/07/2023, 12h40

Anonyme007, quel est le but de tes messages des dernieres semaines ? que cherches tu a comprendre ? quels livres lis tu en relation aec cela ?

**Anonyme007** · 13/07/2023, 13h51

Envoyé par syborgg

Anonyme007, quel est le but de tes messages des dernieres semaines ? que cherches tu a comprendre ? quels livres lis tu en relation aec cela ?

Je suis entrain de comprendre le lien qui existe entre les deux formulations distinctes de l'énoncé de le conjecture de Ogus :

- La première formulation figure sur le lien suivant, https://webusers.imj-prg.fr/~bruno.k...lcurves7.1.pdf , page, $\text{[math]}$ .
- La deuxième formulation figure sur le lien suivant, http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques...%202004%29.pdf , page, $\text{[math]}$ .

J’essaye de comprendre précisément, pourquoi les cycles de Ogus sont d'un coté, invariants par le Frobenius, et d'un autre coté, éléments de sous espaces propres de valeurs propres $\text{[math]}$ pour, $\text{[math]}$ .

D'où ma question,

Soit, $\text{[math]}$ le sous espace propre de $\text{[math]}$ associé à la valeur propre $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ avec, $\text{[math]}$ .

Soit, $\text{[math]}$ le sous espace de $\text{[math]}$ invariant par $\text{[math]}$ .

Comment montrer que, $\text{[math]}$ ?

Merci d'avance.

**Anonyme007** · 13/07/2023, 13h53

Envoyé par syborgg

Ouups dans #6 j'ai dis une grosse annerie, j'espere que tout le monde s'en est rendu compte...

Quelle est cette grosse bourde syborgg ?

**Anonyme007** · 13/07/2023, 13h57

Envoyé par Anonyme007

Ils sont caractérisés par la propriété suivante, $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . ( Little Fermat theorem ).
D'où, $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .
D'où, $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .
D'où, $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est valeur propre de $\text{[math]}$ ?
Est ce que c'est ça ?

Est ce que $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ , sont des valeurs propres de $\text{[math]}$ ?

Merci d'avance.

Je pense que c’est faux. Je pense que je confonds ici ''valeurs propres'' et ''vecteurs propres''.

**Anonyme007** · 13/07/2023, 13h58

Envoyé par MissJenny

ton endomorphisme est inversible puisqu'une de ses puissances est l'identité, donc tu sais déjà que 0 n'est pas l'une de ses valeurs propres.

D’accord. Merci.

**syborgg** · 13/07/2023, 14h09

Envoyé par Anonyme007

Je pense que c’est faux. Je pense que je confonds ici ''valeurs propres'' et ''vecteurs propres''.

Oui, et en plus comme p= 0 en car p, ta derniere question n'a pas de sens.

**syborgg** · 13/07/2023, 14h11

Envoyé par Anonyme007

Je suis entrain de comprendre le lien qui existe entre les deux formulations distinctes de l'énoncé de le conjecture de Ogus :

- La première formulation figure sur le lien suivant, https://webusers.imj-prg.fr/~bruno.k...lcurves7.1.pdf , page, $\text{[math]}$ .
- La deuxième formulation figure sur le lien suivant, http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques...%202004%29.pdf , page, $\text{[math]}$ .

J’essaye de comprendre précisément, pourquoi les cycles de Ogus sont d'un coté, invariants par le Frobenius, et d'un autre coté, éléments de sous espaces propres de valeurs propres $\text{[math]}$ pour, $\text{[math]}$ .

D'où ma question,

Soit, $\text{[math]}$ le sous espace propre de $\text{[math]}$ associé à la valeur propre $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ avec, $\text{[math]}$ .

Soit, $\text{[math]}$ le sous espace de $\text{[math]}$ invariant par $\text{[math]}$ .

Comment montrer que, $\text{[math]}$ ?

Merci d'avance.

Et plus generalement, pourquoi tu t'interesses a la conjecture de Ogus ?

**syborgg** · 13/07/2023, 14h17

Envoyé par Anonyme007

Quelle est cette grosse bourde syborgg ?

Les valeurs propres appartiennent au corps de base par definition.

**MissJenny** · 13/07/2023, 14h19

Envoyé par syborgg

Les valeurs propres appartiennent au corps de base par definition.

ou à une clôture algébrique dudit corps...

**syborgg** · 13/07/2023, 14h41

Envoyé par MissJenny

ou à une clôture algébrique dudit corps...

Oui mais la je crois comprendre qu'on considere le Frobenius comme un endo du F_p espace vectoriel F_q, et que ses valeurs propres sont a prendre sur F_p, a moins que je me trompe ?

**MissJenny** · 13/07/2023, 14h53

en général certains endomorphismes ne sont pas diagonalisables, ce qui revient à dire qu'ils le sont dans une clôture algébrique, mais là je ne sais pas.

**Anonyme007** · 13/07/2023, 14h54

Envoyé par syborgg

Et plus generalement, pourquoi tu t'interesses a la conjecture de Ogus ?

C'est juste un but que je me fixe. C'est tout.

**syborgg** · 13/07/2023, 15h05

Envoyé par MissJenny

en général certains endomorphismes ne sont pas diagonalisables, ce qui revient à dire qu'ils le sont dans une clôture algébrique, mais là je ne sais pas.

Ah oui, les endo non diagonalisables c'est pas ca qui manque

**Anonyme007** · 13/07/2023, 15h48

@syborgg,
J’appends à travers un de tes messages ces dernières semaines que tu viens d’obtenir ton doctorat. Si ce n'est indiscret, est ce que tu as passé ton doctorat en géométrie algébrique et en théorie de Hodge ?.

**syborgg** · 13/07/2023, 15h52

Ca fait deja un moment que j'ai eu mon doctorat, mais non, pas en geom algebrique, en theorie des modeles.

**Anonyme007** · 13/07/2023, 16h03

D’accord. Merci pour la réponse @syborgg,

Est ce que tous les éléments de $\text{[math]}$ sont des valeurs propres de $\text{[math]}$ ?

Merci d'avance.

**syborgg** · 13/07/2023, 16h06

Je suis loin d'etre "dans le coup" en geometrie algebrique, mais de ce que j'ai compris en discutant avec des collegues du temps de ma these, c;est Deligne l'expert de la theorie de Hodges, tu devrais donc peut etre envisager de lire ses travaux. Mais pour faire de la geometrie algebrique en general (et lire Deligne en particuliers) , il faut maitriser des outils comme la cohomologie etale et cristalline, les faisceaux, la theorie des categories, entre autres.... un gros boulot preparatoire !

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