Représentation décimale des nombres réels

[Archyves]

Bonjour,
Ma question concerne la représentation des réels sous forme décimale.
Existe t-il des nombres réels, bien définis, composés d'une suite de chiffres non nuls (en base 10 par exemple) infinie à gauche de la virgule ?
Par exemple, je pense au nombre PI = 3,14159... mais écrit "à l'envers" : IP= ...95141,3 . IP est-il un nombre réel ?
De même peut-on avoir des nombres réels (bien définis) composés d'une suite infinies de chiffre à droite et à gauche, "sans queue ni tête" ?
Merci.
Yves
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[Deedee81]

Salut,

De tels nombre ne sont pas des nombres réels (c'est assez évident).
Mais tu peux regarder les nombres p-adiques : https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_p-adique
On y retrouve cette représentation "infinie à gauche"

On peut jouer avec ce type de représentation (on y trouve des choses curieuses, on a sûrement tous joué à ça étant gamin )
mais la théorie complète est quand même assez pointue, pas vraiment du niveau "collège - lycée") mais rien ne t'empêche de regarder

[Archyves]

Merci pour ta réponse super-rapide !

Mais ton "c'est assez évident" ne m'a pas éclairé... Une piste ?

Oui, ça a l'air chouette les nombres p-adiques.

[pm42]

Mais ton "c'est assez évident" ne m'a pas éclairé... Une piste ?

Si on prend la définition des réels, c'est évident parce que tout nombre avec une infinité de chiffres non nuls à gauche de la virgule est infini. Donc pas un réel.
Après en maths, on arrive pratiquement tout le temps à étendre les définitions pour faire que n'importe quelle idée marche mais au niveau auquel tu poses ta question, la réponse est "non, ce ne sont pas des réels".

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

EDIT croisement avec pm42 qui dit la même chose que moi

Mais ton "c'est assez évident" ne m'a pas éclairé... Une piste ?

Ben oui, tout nombre réel se représente (en décimal par exemple) par un nombre fini de chiffre suivi après la virgule d'un nombre infini de chiffres.
Donc forcément, tout autre cas comme un nombre infini de chiffres (pas que des zéros évidemment) ne correspond pas à ça et ne représente donc pas un nombre réel.
De même si j'écris (là j'invente) : -14-3.2.5&4 ce n'est pas un nombre réel (du moins pour cette représentation, on peut en inventer d'autres)

Pour t'amuser :
essai d'additionner ....1111111 (sans chiffre après la virgule, et .... répétition infinie)
avec .....999999
Ca fait 0
(c'est le genre de truc que j'avais constaté étant gamin)

Note que des extensions des nombres on peut en inventer de nombreuses mais évidemment encore faut-il que ce soit utile, comme les surréels, les hyperréels,....
(et bien sûr on a les complexes, les quaternions et diverses extensions des corps algébriques).
Ca permet parfois même de résoudre certains trucs qui sont indécidables dans ZFC comme l'énigme de l'hydre de Lerne
(je retrouve plus l'article mais ici en vidéo : https://www.lepoint.fr/science/enigm...2531108_25.php)

[Archyves]

"Tout nombre réel se représente (en décimal par exemple) par un nombre fini de chiffre suivi après la virgule d'un nombre infini de chiffres".
Voilà qui est clair pour moi.
Merci pour vos réponses !

[gg0]

Bonjour Archyves.

Une façon de prouver que le nombre de chiffres avant la virgule est fini est une propriété du corps (*) des réels : Il est archimédien, c'est à dire que tout nombre positif est dépassé par les multiples d'un nombre strictement positif; si a>0 alors pour tout réel positif x, il existe un entier k tel que k.a>x.
Pour l'écriture décimale, on peut se réduire aux réels positifs (un négatif s'écrit - suivi de la valeur absolue du nombre). Soit donc x un réel. Il existe un entier k tel que k.1>x (en fait, il en existe une infinité). Soit e le plus grand entier qui ne vérifie pas cette inégalité (il existe, puisqu'il n'y a qu'un nombre fini de nombres k' tels que k'.1 <=x). Alors x=e+(x-e) avec 0<=x-e<1. Donc l'écriture décimale de x commence par les chiffres de e, la virgule, puis les décimales de x-e.

Cordialement.

(*) un corps est un ensemble muni de deux opérations qui ont les bonnes propriétés (copiées sur celles de l'addition et la multiplication des nombres)

[Médiat]

Salut,

Pour t'amuser :
essai d'additionner ....1111111 (sans chiffre après la virgule, et .... répétition infinie)
avec .....999999
Ca fait 0
(c'est le genre de truc que j'avais constaté étant gamin)

C'est faux
.....999999 +...1111111 donnerait plutôt …1111111110, c'est-à-dire ...1111111111 - 1

c'est plutôt:

.....9999999+1 = 0

Le cadre naturel étant ici les nombres décadiques.

[Deedee81]

ah oui, la bourde (mon enfance est vraiment trop loin )

Note que lorsque j'avais joué à ça, j'étais loin de pouvoir penser nombres décadiques ou p-adiques et c'était juste de la curiosité de gamin qui joue avec les nombres.

Merci Médiat

[ThM55]

Les nombres écrits en base p où p est un entier positif premier, pour lesquels on a un nombre fini ou infini à gauche sont parfaitement bien définis. Il s'agit des entiers p-adiques. On peut les définir comme des séries formelles avec des coefficients entiers tels que .

L'addition et la multiplication des ces p-adiques est définie par les procédés usuels avec report (par exemple en base 5 deux coefficients 3 et 3 donnent une somme 1, avec un report de 1.

Le choix d'un p premier plutôt qu'un nombre composé est important, il entraîne que l'ensemble de ces nombres est un anneau intègre (c'est-à-dire que le produit de deux nombres non nuls est non nul). Quand on a un anneau intègre, on peut construire de manière canonique un corps qui est son corps des fractions. C'est le même procédé que pour passer des entiers relatifs aux rationnels : on définit des fractions comme des éléments du produit cartésien quotienté par la relation d'équivalence des fractions. En partant de l'anneau des entiers p-adiques on obtient le corps des nombres p-adiques . On peut écrire leur représentation en base p avec un nombre fini de chiffres à droite de la virgule.


On peut obtenir par une autre voie, comme une complétion de pour un valuation dite p-adique. C'est le même procédé qu'on utilise pour compléter et obtenir avec la valuation de la valeur absolue. On obtient ainsi toutes les complétions possibles de .

En fait les mathématiciens travaillent aussi avec le produit de tous les corps p-adiques. Ils l'appellent l'anneau adélique. Voir Wikipedia: https://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_ad%C3%A9lique


Pour être complet, je vous donne deux références qui m'ont été utiles pour étudier ce sujet:

1) Fernando Q. Gouvêa, p-adic Numbers, An introduction.
2) Alain Robert, A course in p-adic analysis.

Ces nombres sont importants en théorie des nombres, il permettent d'accéder à des démonstrations via les nombres p-adiques. Toutefois je ne me sens pas assez aguerri pour expliquer cela. Personnellement je m'y suis intéressé pour des spéculations en physique. On peut en effet faire de l'analyse p-adique sur le corps et ses extensions: fonctions analytiques, limites, intégration etc. Voir par exemple ceci: https://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_quantum_mechanics .