Condition d'un écoulement incompressible

[OSCILLATEUR]

Bonjour,

Je me pose actuellement des questions par rapport aux écoulements qualifiés d'incompressibles. Par définition un écoulement est incompressible si le volume de chaque particule de fluide est indépendant du temps ( donc que la masse volumique de la particule se conserve dans l'écoulement). La définition ne me pose pas de problème, j'ai des problèmes liés à la conséquence de cette définition, en effet, il est dit que ceci implique que la dérivée particulaire du champs eulérien de masse volumique est nulle. Je ne comprends pas cette notion car la dérivée particulaire est liée à une variation locale du champs des masses volumiques ( dérivée par rapport au temps en un point donné) et une variation convective liée au mouvement d'une particule fluide. Si on suppose que le volume d'une particule est indépendant du temps donc garde un volume constant au cours de l'écoulement, ne serait-ce pas uniquement la composante convective de la dérivée particulaire qui serait nulle ?. En effet, si la dérivée particulaire est nulle on peut supposer qu'une variation locale de la masse volumique peut compenser une variation convective de la masse volumique et donc que le volume de la particule n'est pas nécessairement constant lors de son mouvement, ce qui contredit la définition. Il y a t'il quelqu'un qui peut me dire où mon raisonnement est éronné ?

Merci d'avance
-----

[gts2]

Bonjour,

la masse volumique de la particule se conserve dans l'écoulement ... la dérivée particulaire du champs eulérien de masse volumique est nulle. Je ne comprends pas cette notion.

La dérivée particulaire est la dérivée en suivant le mouvement, c'est donc exactement la traduction de "se conserve dans l'écoulement".

car la dérivée particulaire est liée à une variation locale du champs des masses volumiques ( dérivée par rapport au temps en un point donné) et une variation convective liée au mouvement d'une particule fluide.

Cela c'est la traduction dérivée lagrangienne vers dérivée eulérienne :

Si on suppose que le volume d'une particule est indépendant du temps donc garde un volume constant au cours de l'écoulement, ne serait-ce pas uniquement la composante convective de la dérivée particulaire qui serait nulle ?. En effet, si la dérivée particulaire est nulle on peut supposer qu'une variation locale de la masse volumique peut compenser une variation convective de la masse volumique et donc que le volume de la particule n'est pas nécessairement constant lors de son mouvement, ce qui contredit la définition.

Ce qui est nul c'est , dérivée lagrangienne, particulaire.
On peut en effet imaginer que localement compensée par une variation opposée de la partie convective.
Imaginer un récipient rempli d'eau et d'huile que l'on vidange, l'hypothèse incompressible est raisonnable, mais si l'on regarde en un point de la canalisation de vidange à l'instant t1 il y aura de l'eau et à t2 de l'huile, donc à un moment donné

[OSCILLATEUR]

Tout d'abord merci pour votre réponse .
Si je reprend votre exemple et que l'on suppose que l'on suit une particule d'eau que l'on peut considérer en écoulement incompressible. Au moment de la transition entre l'huile et l'eau on observe bien la variation locale de la masse volumique donc ( dv/dt différent de 0) mais la particule d'eau reste en écoulement incompressible donc pas de variation de volume donc le terme convectif est bien nul non ? et par suite la dérivée lagrandienne particulaire est différente de 0 ...
Si je suppose qu'il compense bien la variation locale je suppose que la particule dans sa convection se déforme et donc que l'écoulement n'est pas incompressible ..

[gts2]

Au moment de la transition entre l'huile et l'eau on observe bien la variation locale de la masse volumique donc ( dv/dt différent de 0)

Plus précisément

mais la particule d'eau reste en écoulement incompressible donc pas de variation de volume

Plus précisément

donc le terme convectif est bien nul non.

Si on compare les deux équations le terme convectif est donc non nul, ce que l'on peut voir directement : et le gradient est non nul puisqu'on passe de la masse volumique de l'eau à celle de l'huile.

[A voir en vidéo sur Futura]

[OSCILLATEUR]

Merci encore une fois pour cette réponse rempli de sens . Je pense avoir saisis le concept, il peut avoir des fluctuation locale de la masse volumique en raison d'un changement par exemple de particule de fluide (à cause de l'écoulement). Si cette écoulement est incompressible et qu'il y a variation du terme convectif elle est due à une variation locale donc la dérivée particulaire est bien nulle.

Je vais profiter pour vous poser une nouvelle question, il est commun de considérer que les gaz ( fluide par nature compressible) sont en écoulements incompressible aux vitesses subsoniques. Il est dit que si cette condition est vérifiée si il y a naissance d'une perturbation qui provoque une variation de la masse volumique, cette perturbation va se propagé à la célérité du son et s'éloigner vite. Pourquoi s'intéresser à la vitesse du milieu ? et qu'entend-t'on par perturbation pouvant faire naitre une variation de la masse volumique, un exemple ?

Merci d'avance.

[gts2]

Bonjour,

Pour ce qui est du gaz en écoulement isochore :

On considère l'écoulement adiabatique réversible d'un gaz parfait : (car adiabatique Q=0 et sans partie mobile Wi=0).
La loi de Laplace donne . Soit par dérivation logarithmique .
En combinant la loi de Laplace et le premier principe : dans laquelle on reconnait la vitesse du son
soit soit en partant de c=0 .
Donc tant que c est petit / c(son), la masse volumique varie peu. La notion de perturbation n'intervient pas.

On s'intéresse à la vitesse car c'est elle (d'après la première équation) qui est responsable de la variation de masse volumique et la vitesse du son s'introduit naturellement.

Pour ce qui est de la perturbation, cela relève de l'acoustique, la perturbation c'est la membrane du haut-parleur qui en se déplaçant va modifier ρ(air)

[OSCILLATEUR]

Merci pour votre démonstration . Vous supposez que la particule de fluide évolue de manière isochore, ça veut dire que vous ne considérez pas les effets de variations de volume qui peuvent être liée à une variation de la pression ou de température dans l'espace offert à l'écoulement ?
Je veux dire supposons un fluide compressible, si il y a une variation de la masse volumique liée à une variation de pression ou température dans l'espace, pouvons nous toujours considérer l'écoulement incompressible ? ( en effet dans ce cas la vitesse peut être très inférieur à la vitesse du son et pourtant on remarque une variation de la masse volumique ... ), peut-être que la notion d'écoulement incompressible, exclut les variations liées aux grandeurs thermodynamiques mais se focalise uniquement sur la cinématique c'est à dire la description liée au mouvement et donc les variations de masse volumiques liés au mouvement du fluide ( je ne suis pas du tout sur de ce que je dis )

[gts2]

Vous supposez que la particule de fluide évolue de manière isochore, ça veut dire que vous ne considérez pas les effets de variations de volume qui peuvent être liée à une variation de la pression ou de température dans l'espace offert à l'écoulement ?

Je ne comprends pas trop : il est dit , donc la variation de ρ induite par T est bien prise en compte.
D'autre part ce n'est pas isochore puisqu'il y a un dρ, l'expression permet d'évaluer l'approximation faire en faisant δρ=0

peut-être que la notion d'écoulement incompressible, exclut les variations liées aux grandeurs thermodynamiques mais se focalise uniquement sur la cinématique c'est à dire la description liée au mouvement et donc les variations de masse volumiques liés au mouvement du fluide

Non comme tout idéalisation, cela résulte d'une approximation et l'équation du message #8 précise simplement les conditions de l'approximation pour ce qui est de la partie thermo.
Sinon, vous avez raison, la notion d'incompressible est purement cinématique.

[OSCILLATEUR]

Merci encore une fois pour cette réponse claire . Si j'ai bien compris, dans le cas d'un gaz parfait évoluant de manière isentropique on prouve que les variations de température n'influe pas ou peu sur la masse volumique si c<<cson mais qu'en est-il de l'influence de la pression ?

[gts2]

C'est bien cela, pour que qui est de l'influence de la pression, au vu de l'hypothèse isentropique, T P et ρ sont liés par la loi de Laplace.

[OSCILLATEUR]

Ok, et c'est donc une sorte de généralisation de ce résultat ( qu'un écoulement peu être incompressible a c<<cson) que l'on fait pour les gaz réel pas forcément en évolution isentropique ?
Dans tous les cas je vous remercie grandement pour votre aide et vos réponses claires, ça m'a été très utile .

[gts2]

Oui c'est cela
Niveau 1 : on démontre dans le cas gaz parfait isentropique
Niveau 2 : on s'écarte (un peu) du gaz parfait et de l'isentropique et on considère que l'approximation reste raisonnable.