Calcul de la capacité linéique

[IchigoKurosaki14]

Bonsoir,

Je suis actuellement en train de réviser mon cours d'électricité et je bloque sur un exercice. Dans l'énoncé, on me demande de calculer la capacité linéique entre un plan et un conducteur cylindrique illimité de rayon R parallèle à ce plan, sachant que la distance entre le plan et le conducteur vaut b.

Mon idée pour commencer cet exercice est de calculer le champ E qui se trouve entre le plan et le cylindre. J'ai donc pris un cylindre comme surface de Gauss de rayon r et de longueur L tel que R<r<b. J'obtiens E(r) = Q / (2*pi*e*r*L ) où e est la permittivité du vide.

Ensuite, j'ai calculé le potentiel V(r) où -grad(V) = E. Je trouve ainsi V = - (Q*ln(r)) / (2*pi*e*L) en posant le potentiel nul en r = R.

Par après, j'ai utilisé C = Q/U et donc C/L =Q/(L*U) où U = V1 - V2 ( différence de potentielle entre le cylindre et le plan ) = -V2 = (Q*ln(b)) / (2*pi*e*L)

Et donc après simplification je trouve : C/L = (2*pi*e) /ln(b). Ce qui n'est pas la réponse finale.

La réponse attendue est : C/L = (2*pi*e) / ln( b/R + sqrt( (b/r)^2 -1 ) )

Merci d'avance pour vos réponses !
-----

[gts2]

Mon idée pour commencer cet exercice est de calculer le champ E qui se trouve entre le plan et le cylindre. J'ai donc pris un cylindre comme surface de Gauss de rayon r et de longueur L tel que R<r<b. J'obtiens E(r) = Q / (2*pi*e*r*L ) où e est la permittivité du vide.
Ensuite, j'ai calculé le potentiel V(r) où -grad(V) = E. Je trouve ainsi V = - (Q*ln(r)) / (2*pi*e*L) en posant le potentiel nul en r = R.

Il faudra passer par là, mais c'est un peu plus compliqué : le plan est à potentiel constant ce qui est contradictoire avec votre V(r).
Il faut donc trouver un V(M) tel que celui-ci soit constant dans un plan.
L'astuce est d'utiliser la méthode des images, on place un cylindre identique porté au potentiel -V, symétrique du cylindre initial (au potentiel V) par rapport au plan. Le plan est au potentiel nul, il faudra donc changer votre convention de potentiel.

A partir de là, vous pouvez reprendre votre calcul.

[IchigoKurosaki14]

Merci de votre réponse rapide. Cependant je n'arrive toujours pas à la bonne réponse. Voici ce que j'ai fait :

J'ai repris l'expression de V(r) = - (Q*ln(r))/(2*pi*e*L) + k où k est une constante à déterminer. En tenant compte du fait qu'il y ait 2 cylindres de part et d'autre du plan, j'ai posé un point M sur ce plan qui est à une distance de b des cylindres.

On a donc : V(M) = V(b) = 0 <=> (Q*ln(1/b))/(2*pi*e*L) + k = 0. On a donc l'expression complète de V(r). On cherche maintenant U= V1-V2 ( différence de potentiel entre le cylindre " réel " et le plan )

Pour calculer V1 et V2, il nous faut d'abord l'expression complète de V(r) en tenant compte du 2ème cylindre. J'ai nommé P un point quelconque de l'espace situé à une distance P1 du cylindre 1 et à une distance P2 du 2ème cylindre. On a donc :

V(P) = (Q/(2*pi*e*L))* (ln(b/P1) - ln(b/P2) )

Et donc pour trouver V(1) je place le point P sur le cylindre 1 donc P1 = R et P2 = 2b --> V(1) = (Q/(2*pi*e*L))*(ln(2b/R))

V(2) =0 car on a posé le potentiel nul sur le plan. Donc U = V(1)

Après calcul je trouve : C/L = (2*pi*e)/ln(2b/R) . ce qui n'est pas la solution proposée.

Merci encore pour votre réponse !

[gts2]

Bonjour,

C'est assez compliqué, je vais essayer de mettre cela au propre.
Il faut un peu de temps ...

Disons que votre solution est la bonne si R est petit.
Le problème étant que si vous calculez V à la surface de votre cylindre, V n'est pas constant, il faut décaler le centre du cylindre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Black Jack 2]

Bonjour,

sur ce site : https://www.sciences.univ-nantes.fr/...n/232excon.htm

Dans l'exercice 3

Il y a un calcul de la valeur de la capacité linéïque entre le cylindre et le plan (on y calcule la valeur de C pour une longueur unité), soit C = 4Pi.€o/ln((D+a)/(D-a)) avec

(Le D sur le site est ta distance b)

Comme (D+a)/(D-a) = (D+a)²/(D²-a²) = (D+a)²/R², il vient : C = 4Pi.€o/ln((D+a)/R))² = 2.Pi.€o/ln((D+a)/R))

C = 2.Pi.€o/ln((D+sqrt(D²-R²))/R))

C = 2.Pi.€o/ln(D/R + sqrt((D/R)²-1)) ... qui est la solution du corrigé

Comme c'est la valeur de C pour une longueur unité ... c'est ton C/L

[gts2]

En suivant votre raisonnement, cela donne :

condensateur-cylindre-plan

[IchigoKurosaki14]

Je ne comprends pas la ligne où vous calculez le potentiel au point C. En effet, la distance entre le conducteur chargé positivement et le point C vaut R donc r1 = R mais je ne comprends pas comment vous arrivez à obtenir a+(b-a)/2 pour la distance entre le conducteur chargé négativement et le point C càd r2.

[gts2]

Bonjour,

1- j'ai fait un méli-mélo entre a (distance au plan) et a distance entre les charges (en fait 2a)
2- j'ai confondu distance et abscisse de C qui vaut 2a+(b-a)/2

J'ai tout repris, mais je n'ai pas trouvé de méthode simple/géométrique pour montrer NC=a+b (le calcul, lourd, le montre).

J'ai mis à jour le fichier.

[jacknicklaus]

soit Q le milieu de O et P.
on a :
NC² = QC² + (2a + (b-a)/2)²
et
R² = QC² + ((b-a)/2)²
or
R² = b² - a²

d'où
NC² = b² - a² - ((b-a)/2)² + 4a² + 2a(b-a) + ((b-a)/2)² = (a+b)²


il doit y avoir plus direct... mais je ne vois pas.

[gts2]

OK, merci pour le détail du calcul, c'est ce que j'appelais calcul lourd (tout est relatif).