Physique quantique - Anticommutateurs

[CharlieGordon]

Bonjour

Un exercice de physique quantique me pose problème et j'aurais besoin d'aide
Voici l'exercice en question :


On définit l'anticommutateur de deux opérateurs A et C comme la quantité : [A;C] = A.C + C.A
Soit un opérateur non hermitique et son adjoint. On suppose que les opérateurs et satisfont à la relation d'anticommutation : où désigne l'opérateur identité. On introduit l'opérateur dont on note n les valeurs propres (supposées non dégénérées) et , les kets propres normés de

1) Pour non nul, calculer le carré de la norme de

2) Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour que soit nul ?

3) Mêmes questions pour

4) Montrer que n satisfait à une double inégalité : . Préciser les valeurs de et

Alors pour la question 1, si je m'y suis pris correctement, je trouve que le carré de la norme de est : (je ne suis pas certain que ça soit la bonne façon de faire)

Et ensuite je suis bloqué...Je ne sais pas

Merci beaucoup d'avance pour votre aide
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[albanxiii]

Bonjour et bienvenue sur le forum,

Un vecteur est nul si et seulement si sa norme....

[ThM55]

Par définition, (dans la notation de Dirac, on met la valeur propre comme une étiquette dans le vecteur ket). Donc le carré de la norme que vous avez trouvé est . Donc le vecteur est nul si n =0.

Pour vous procédez de même et vous trouvez (1-n).

Il faut ensuite voir si et sont des vecteurs propres de N et si oui trouver leur valeur propre.

[CharlieGordon]

Merci

J'ai bien retrouvé 1-n pour la norme au carré de

Cependant je n'arrive pas à vérifier si et sont kets propres de N

J'ai débuté comme ceci pour : ensuite je ne sais pas si ça va m'aider mais j'ai mis ça sous cette forme et après je ne sais pas...

[A voir en vidéo sur Futura]

[ThM55]

OK. On fait comme ceci:

On part du ket par exemple, et on agit à gauche sur lui avec en utilisant l'associativité pour les opérateurs, puis la relation d'anticommutation et enfin encore une fois l'associativité:



Mais ceci montre que est vecteur propre de avec la valeur propre . Comme on suppose les états propres non dégénérés et normalisés, on doit donc avoir



Je vous laisse démontrer qu'il en va de même exactement pour B|n>: on a .

Il faut maintenant rassembler tous les résultats obtenus:






Supposons l'existence de l'état propre |0>. On peut agir sur lui avec (inutile de lui appliquer B, cela donne le vecteur nul qui n'est pas un état quantique) et on a .

Si j'agis encore une fois avec j'obtiens le vecteur nul: .

Mais maintenant je peux agir sur |1> avec B:

et

On a donc deux états de base. L'espace propre de est un espace à deux dimensions, de base (|0>, |1>). Les nombres demandés sont 0 et 1.

Ce système représente un "oscillateur fermionique", c'est l'exemple le plus simple de statistique de Fermi-Dirac. On peut interpréter et comme des opérateurs de création et d'annihilation respectivement et le comportement fermionique signifie qu'on ne peut avoir deux particules dans le même état. L'oscillateur habituel avec une infinité possible de niveaux d'énergie sera interprété comme contenant des bosons.

[ThM55]

Je maîtrise assez mal Latex. J'aurais dû utiliser "\dagger": donc au lieu de , c'est plus joli.

[ThM55]

Désolé pour cela mais ma démonstration contient une erreur, en fait elle est incomplète.

L'erreur est que j'ai supposé que était normalisé, ce qui n'est vrai a priori puisque le carré de sa norme est comme on l'a vu au début de l'exercice. Pour le normaliser il faudrait diviser par .

Comme le carré d'une norme doit être positif, on a d'emblée la condition .

Il faut tenir compte des facteurs de normalisation lors de l'action de et . Dans le cas où ou cela ne pose pas de problème (il vaut 1 dans tous les cas). On peut ensuite l'utiliser pour montrer que ce sont les seules valeurs possibles de , ce qui prouve que l'espace propre est de dimension 2.

Je compléterai cela plus tard.