De l'utilité de la constante de Planck en mécanique statistique classique

[gatsu]

Bonjour,

Comme d'habitude je me pose des questions dont l'utilité est négligeable mais bon j'y peux rien .

La présentation usuelle (académique ?) de la mesure d'intégration dans l'espace des phases dans les ensembles canonique et microcanonique par exemple s'écrit de la façon suivante :



la justification classique d'une telle écriture est que l'on effectue une partition de l'espace des phases en cellules de volume pour compter les microétats.

En fait j'ai un problème avec cette justification...

-Premièrement, l'introduction de manière ad hoc d'un volume minimum dont l'origine est quantique me parait un peu bizarre dans un raisonnement a priori classique (dans l'approche présenté usuellement/historiquement encore une fois),

-Deuxièmement, je ne vois pas de raison particulière a priori qui nous pousserait forcément à choisir ce volume précisément pour une cellule élémentaire,

-Troisièmement, l'energie libre comme l'entropie, classiques (au sens de non quantiques), sont définies à une constante additive près qui pourrait correspondre justement au choix d'une autre partition pour l'espace des phases et donc un tel choix ne changerait rien à la statistique.

Ma question (peut être un peu bête) est donc la suivante : existe-t-il des quantités physiques classiques (macroscopiques) mesurables pour lesquelles le fait que la constante de Planck intervienne dans la mesure d'intégration classique est indispensable pour rendre compte de leur valeurs numériques mesurées ?

Pour ma part je n'en vois pas mais j'ai peut être mal cherché (la réponse est peut être dans l'ouvrage original de Gibbs mais je n'ai jamais eu la chance de l'avoir sous les yeux alors...) .

Merci d'avance pour vos réponses !


P.S : je suis bien conscient que lorsqu'on prend la problème "à l'envers" (qui correspond au sens correct pour moi) c'est à dire en partant de :

pour l'ensemble canonique, alors cette mesure apparait naturellement lorsqu'on fait la limite via la formule de Trotter mais ce n'est pas ça que je demande ici...
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[Rincevent]

salut,

La présentation usuelle (académique ?) de la mesure d'intégration dans l'espace des phases dans les ensembles canonique et microcanonique par exemple s'écrit de la façon suivante :

t'es sûr ? tu as vu ça où par exemple ? parce que dans les présentations classiques que j'ai vues et dont je me souviens on ne rendait pas cette mesure adimensionnée et le hbar n'était pas là...

-Premièrement, l'introduction de manière ad hoc d'un volume minimum dont l'origine est quantique me parait un peu bizarre dans un raisonnement a priori classique (dans l'approche présenté usuellement/historiquement encore une fois),

entièrement d'accord et j'ai jamais vu ça

-Deuxièmement, je ne vois pas de raison particulière a priori qui nous pousserait forcément à choisir ce volume précisément pour une cellule élémentaire,

idem

-Troisièmement, l'energie libre comme l'entropie, classiques (au sens de non quantiques), sont définies à une constante additive près qui pourrait correspondre justement au choix d'une autre partition pour l'espace des phases et donc un tel choix ne changerait rien à la statistique.

plus précisément ?

Ma question (peut être un peu bête) est donc la suivante : existe-t-il des quantités physiques classiques (macroscopiques) mesurables pour lesquelles le fait que la constante de Planck intervienne dans la mesure d'intégration classique est indispensable pour rendre compte de leur valeurs numériques mesurées ?

l'action n'étant pas quantifiée en physique non-quantique, je vois mal comment... en revanche, un exemple de truc "classique" qui se comprend grâce aux propriétés quantiques (et sans faire intervenir h) c'est le fameux paradoxe de Gibbs qui est naturel une fois qu'on prend en compte la caractère indiscernable des particules et dont l'origine est quantique. Mais h n'est pas dans le coup...

[Coincoin]

Salut,
Question corollaire : historiquement, les résultats et éventuellement l'approche par quantification de l'espace des phases datent-elles d'avant ou après la naissance de la physique quantique ?

J'ai toujours eu l'impression que c'était une astuce pour éviter des intégrales divergentes mais que toute autre valeur que h ferait aussi bien l'affaire. Mais je m'y connais moins que toi, donc je suis les réponses avec intérêt.

[gatsu]

salut,



t'es sûr ? tu as vu ça où par exemple ? parce que dans les présentations classiques que j'ai vues et dont je me souviens on ne rendait pas cette mesure adimensionnée et le hbar n'était pas là...

Je sais pas je l'ai appris comme ça en Licence et Maitrise avec deux prof differents, il y a aussi le Diu page 301 par exemple et le wiki aussi entre autres
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_de_partition.

plus précisément ?

Plus pécisément l'entropie comme l'energie libre sont le log d'une "fonction" qui est proportionnelle à , ainsi donc une constante ajoutée à l'energie libre ou à l'entropie donne exactement les mêmes moments de la distribution il me semble, donc a priori le choix de la taille d'une cellule est quelconque.

l'action n'étant pas quantifiée en physique non-quantique, je vois mal comment... en revanche, un exemple de truc "classique" qui se comprend grâce aux propriétés quantiques (et sans faire intervenir h) c'est le fameux paradoxe de Gibbs qui est naturel une fois qu'on prend en compte la caractère indiscernable des particules et dont l'origine est quantique. Mais h n'est pas dans le coup...

effectivement, je savais pour le paradoxe de Gibbs, j'avais pensé au potentiel chimique en fait qui s'écrit

avec bien sûr

mais je ne suis pas sûr que ça se mesure de façon absolue en fait...

Question corollaire : historiquement, les résultats et éventuellement l'approche par quantification de l'espace des phases datent-elles d'avant ou après la naissance de la physique quantique ?

Si mon souvenir est bon Boltzmann avait considéré l'espace des phases d'une particule (pour un système à N particules) et il avait fait une partition de cet espace de façon relativement arbitraire au voisinage de chacun des points
et ensuite il a défini sa probabilité à une particule (tout le raisonnement de Boltzmann repose là dessus) comme la fraction de particules qui était dans cahcune des cellules de taille arbitraire(-ment petite) mais égale (il y de l'hypothèse ergodique cachée derrière).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Rincevent]

apparemment Boltzmann a utilisé le truc des cellules avant la physique quantique... voir ce texte (plus précisément : "4. 1877b: The permutational argument")

mais je ne crois pas que c'était "généralisé" et en particulier je ne crois pas que Gibbs l'utilisait (m'enfin je suis pas certain et n'ai pas de livres sous la main pour vérifier).

À côté de ça, il me semble quand même me souvenir que ce truc a guidé Planck qui a ainsi introduit des cellules de tailles proportionnelles pour l'énergie et les fréquences, la constante de proportionnalité étant qui vous savez (et ce avant que ne soit par la suite proposé le pavage de l'espace des phases).


[edit] croisement avec gatsu

[Rincevent]

il y a aussi le Diu page 301 par exemple

je me souvenais pas que c'était le cas dans le Diu

le wiki aussi entre autres
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_de_partition.

wiki en français je me méfie

Plus pécisément l'entropie comme l'energie libre sont le log d'une "fonction" qui est proportionnelle à , ainsi donc une constante ajoutée à l'energie libre ou à l'entropie donne exactement les mêmes moments de la distribution il me semble, donc a priori le choix de la taille d'une cellule est quelconque.

ok, je vois mieux ce que tu voulais dire

mais je ne suis pas sûr que ça se mesure de façon absolue en fait...

je pense pas que ça le soit mais ne te le certifierai pas

Si mon souvenir est bon Boltzmann avait considéré l'espace des phases d'une particule (pour un système à N particules) et il avait fait une partition de cet espace de façon relativement arbitraire au voisinage de chacun des points
et ensuite il a défini sa probabilité à une particule (tout le raisonnement de Boltzmann repose là dessus) comme la fraction de particules qui était dans cahcune des cellules de taille arbitraire(-ment petite) mais égale (il y de l'hypothèse ergodique cachée derrière).

c'est aussi ce dont je me souvenais et qui doit être raconté dans le texte que je viens d'indiquer si mes souvenirs sont exacts


[edit] pour revenir à la question initiale, le seul bouquin de phys stat pas trop moderne que j'ai sous la main est le "statistical thermodynamics" de Schrödinger (chez Dover) et quand il décrit le gaz monoatomique traitée de façon non-quantique, il introduit pas de normalisation de la mesure

[invitea774bcd7]

C'est pas l'incertitude d'Heisenberg entre r et p ? Ça me semble naturelle… L'élément d'intégration ne peut pas être infinitésimal car limité par les relations de Werner (c'est avec les mains…)

Non ?

[gatsu]

C'est pas l'incertitude d'Heisenberg entre r et p ? Ça me semble naturelle… L'élément d'intégration ne peut pas être infinitésimal car limité par les relations de Werner (c'est avec les mains…)

Non ?

Ben justement, comme j'essaie de l'expliquer il semblerait qu'on ai pas besoin de cette normalisation (et qu'on peut même ne pas en faire comme le souligne Rincevent dans son dernier message ; ce qui est plus discutable pour des problèmes de dimension je trouve). Et justement j'essaie de savoir si il existe une "trace" de ce choix de la mesure dans des résultats classiques mesurables.

wiki en français je me méfie

Dans le wiki anglais c'est effectivement dit differemment

http://clesm.mae.ufl.edu/wiki.pub/in...l_mechanics%29

mais ça revient à raisonner "à l'envers" comme je le précisais déjà dans mon premier message.
Non pas que ce soit un mal mais j'aimerais juste savoir si cette mesure fait autre chose qu'être coherente avec la formulation quantique de la mécanique statistique à haute température.

[Rincevent]

ce qui est plus discutable pour des problèmes de dimension je trouve

pour moi ce n'est pas "plus discutable" car tu peux très bien normaliser et adimensionner ta mesure (ta densité) par une "constante indéterminée" que tu détermines à la fin et qui ne fera pas intervenir de h (mais plutôt l'intégrale de la mesure sur tout l'espace disponible, un peu comme tu fais apparaître un facteur 1/Z souvent)

[gatsu]

pour moi ce n'est pas "plus discutable" car tu peux très bien normaliser et adimensionner ta mesure (ta densité) par une "constante indéterminée" que tu détermines à la fin et qui ne fera pas intervenir de h (mais plutôt l'intégrale de la mesure sur tout l'espace disponible, un peu comme tu fais apparaître un facteur 1/Z souvent)

ça ne pose pas de problème pour la statistique en utilisant cette méthode je suis d'accord mais l'energie libre par contre dépend d'un adimensionnement a priori de la fonction de partition (et donc de la mesure) qui ne peut pas être l'intégrale de la mesure sur tout l'espace des phases, c'est ça que je voulais dire.

[Rincevent]

ça ne pose pas de problème pour la statistique en utilisant cette méthode je suis d'accord mais l'energie libre par contre dépend d'un adimensionnement a priori de la fonction de partition (et donc de la mesure) qui ne peut pas être l'intégrale de la mesure sur tout l'espace des phases, c'est ça que je voulais dire.

c'est vrai, mais encore une fois on en revient à ce que tu disais toi-même avant : en physique classique les énergies ne sont définies qu'à une constante près, non ?

[gatsu]

c'est vrai, mais encore une fois on en revient à ce que tu disais toi-même avant : en physique classique les énergies ne sont définies qu'à une constante près, non ?

Oui et alors ? Désolé je ne vois pas où tu veux en venir. Tu veux prendre le log d'une grandeur qui a une dimension en se disant que la quantité cherchée est définie à une constante près de toute façon ?

Au final, à moins que quelqu'un d'autre n'apporte un élément décisif, il me semble bien que la constante de Planck a un role assez mineur (quasi heuristique) en statistique classique, c'est pourquoi d'ailleurs tu n'en as jamais (vraiment jamais ?) entendu parlé Rincevent.

Il peut éventuellement servir en comparant la longueur d'onde thermique de De Brooglie avec la distance inter-particules pour savoir quand il faut utiliser autre chose mais là encore faut il savoir que les outils utilisés sont une approximation de quelques chose de plus général et incorporer la quantique dans le raisonnement (a priori classique) fait bizarre pour la cohérence de l'ensemble.

Reste peut être une utilité via le potentiel chimique pour un gaz parfait que j'ai écrit plus haut dont le signe devient négatif lorsqu'on doit faire des statistiques quantiques (et ça apparait directement dans les calculs) et qui est peut être mesurable de façon absolue (je n'en sais rien).