Résolution d'une équation

**gloussou** · 26/04/2024, 18h11

Bonjour,

Question à mille Bitcoins,

Peut on résoudre l'équation littérale (t est l'inconnue), ou au moins obtenir une valeur approchée

A1*exp (-t/A2) + B1*exp (-t/B2) = (A1+B1)/2

C'est pour calculer un t1/2 à partir d'un fit double exponentiel

J'espère que vous me comprenez !!

Merci

**gg0** · 26/04/2024, 21h51

Bonjour.

Si tous les coefficients sont positifs, l'équation a une seule solution, mais dans le cas général je ne crois pas qu'il y ait une méthode de résolution, même approchée. Il y a un cas particulier simple si A2=B2 (et sans doute d'autres).
Par contre si les coefficients sont de signes quelconques il n'y aura plus de bonne méthode.

Cordialement.

**erff** · 28/04/2024, 09h34

Bonjour,

Est-ce que par hasard A2<<B2 ou B2<<A2 (sinon je ne vois pas l'intérêt de faire un fit)?

**gloussou** · 12/05/2024, 22h39

Bonsoir et Merci ggo et erff pour vos réponses,
Oui tous les coefficients sont positifs, cette équation correspond à la décroissance d'un courant ionique dans une cellule (biologie). Pas de situation où a2<<b2 (ou le contraire), ce sont 2 constants de temps généralement assez proches, sinon le fit pourrait être mono-exponentiel.

Mais si je comprends bien, il n'y a pas de solution simple, même dans le cas où tous les coefficients sont positifs?
Et ne peut-on pas revenir à une équation du 2nd degré, voire degré 3 par une approximation des exponentielles par des développement limités?

Cordialement,

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**gts2** · 13/05/2024, 08h46

Bonjour,

SI les A2 ou B2 sont du même ordre de grandeur, t est de l'ordre de A2/B2, donc t/A2 de l'ordre de 1, donc l'écart entre l'exp et le DL sera non négligeable.

**gg0** · 13/05/2024, 08h54

Heu... si A2 et B2 sont du même ordre de grandeur, disons quasi égaux, t, "de l'ordre de A2/B2" est presque égal à 1 mais t/A2=1/A2 peut être très différent de 1.
Je n'ai pas compris la fin : quelle exponentielle et quel DL ?

Cordialement.

**gts2** · 13/05/2024, 09h09

Faute de frappe A2/B2 pour A2,B2 ou en plus clair A2 et B2.

Les exponentielles et DL du message #4 : "ne peut-on pas revenir à une équation du 2nd degré ... par une approximation des exponentielles par des développement limités ?"

**gg0** · 13/05/2024, 12h10

Justement, je n'avais pas compris pourquoi il parlait de DL, qui est une notion purement locale ("DL au voisinage de t=0"), alors qu'on veut résoudre l'équation en général (*).
Je ne comprends toujours pas ce que tu fais "SI les A2 ou B2 sont du même ordre de grandeur", sauf (voir mon message #2) s'ils sont égaux (en fait, il n'y a plus qu'une exponentielle).

**gts2** · 13/05/2024, 12h25

Envoyé par gg0

Je ne comprends toujours pas ce que tu fais "Si les A2 ou B2 sont du même ordre de grandeur", sauf (voir mon message #2) s'ils sont égaux (en fait, il n'y a plus qu'une exponentielle).

Je veux simplement dire que "si les A2 ou B2 sont du même ordre de grandeur" le t est lui même de l'ordre de grandeur de A2 et B2, ce qui rend le DL au voisinage de 0 inadéquat.

**gg0** · 13/05/2024, 13h06

"le t est lui même de l'ordre de grandeur de A2 et B2" ? Tu peux justifier ?
À noter : On peut faire un DL au voisinage de 1.

**erff** · 13/05/2024, 13h15

Bonjour,
Par convenance d'écriture, j'écris :
* wa = 1/A2 et wb=1/B2
* ws = 1/2(wa+wb) et wd=1/2(wa-wb) (la demi somme et la demi différence)
So wa et wb sont proches alors il possible (?) que ws >> wd

Si on réécrit l'équation on doit résoudre :
exp(-ws*t) * [ A1*exp(-wd*t) + B1*exp(wd*t) ] = (A1+B1)/2
Puis on peut poursuivre (si pertinent) en écrivant S=(A1+B1)/2 et D=(A1-B1)/2 ce qui peut être pratique lorsque A1 et B1 sont proches. Ce qui donne :
exp(-ws*t) * [ S*cosh(wd*t) - D*sinh(wd*t) ] = S
Avec cette expression on peut éventuellement faire des simplifications en faisant des DL autour de 0 lorsque par exemple wd<<ws ... mais c'est vraiment selon les valeurs que tu as.

**erff** · 13/05/2024, 14h44

Envoyé par erff

Bonjour,
[...]
exp(-ws*t) * [ S*cosh(wd*t) - D*sinh(wd*t) ] = S
Avec cette expression on peut éventuellement faire des simplifications en faisant des DL autour de 0 lorsque par exemple wd<<ws ... mais c'est vraiment selon les valeurs que tu as.

Correction. J'ai oublié un facteur 2. L'équation c'est :
2*exp(-ws*t) * [ S*cosh(wd*t) - D*sinh(wd*t) ] = S
...sauf erreur.

**gts2** · 13/05/2024, 15h45

Envoyé par gg0

"le t est lui même de l'ordre de grandeur de A2 et B2" ? Tu peux justifier ?

Raisonnement de physicien : la combinaison de deux phénomènes de constantes de temps proches donne un phénomène de constante de temps du même ordre (sauf cas exceptionnel ...)

Envoyé par gg0

À noter : On peut faire un DL au voisinage de 1.

Ici cela serait autour de 1/(ln(2)*ws)

**stefjm** · 13/05/2024, 18h05

Envoyé par gts2

Raisonnement de physicien : la combinaison de deux phénomènes de constantes de temps proches donne un phénomène de constante de temps du même ordre (sauf cas exceptionnel ...)

Dans ce cas, on a une réponse en t.exp(-t/A1).

**erff** · 13/05/2024, 20h47

Bonsoir,

On peut avoir une solution littérale approximative qui tient bien même pour des ratios wd/ws ou D/S pas si faibles.
En repartant de la formulation suivante (qui est équivalente à l'initiale si je n'ai pas fait d'erreurs):
2*exp(-ws*t) * [ S*cosh(wd*t) - D*sinh(wd*t) ] = S

Puis en développant à l'ordre 2 le terme entre [] et en factorisant par S
exp(-ws*t) * [ 1 + (wd*t)^2/2 - (D/S)*wd*t) ] = 1/2

Puis en normalisant la variable temps: T=ws*t
exp(-T) * [ 1 + ((wd/ws)*T)^2/2 - (D/S)*(wd/ws)*T) ] = 1/2

Si on part du principe que la solution est proche de T=ln(2) car le terme entre [] n'a quasi pas évolué alors une solution approximative serait : T = ln( 2* [ 1 - (D/S)*(wd/ws)*ln(2) + 0.5*((wd/ws)*ln(2))^2 ] )
Avec le script Python suivant on peut évaluer le domaine de validité de cette approximation.

Code:

import numpy as np
from scipy.optimize import fsolve
import matplotlib.pyplot as pl

dd = np.linspace(0, 1, 11)
DD = np.linspace(0, 1, 11)
X,Y = np.meshgrid(dd,DD)

s = np.zeros([len(dd), len(DD)])
s_approx = np.zeros([len(dd), len(DD)])

for i,d in enumerate(dd):
    for j,D in enumerate(DD):
        func = lambda t : np.exp(-t)*(np.cosh(d*t) - D*np.sinh(d*t)) - 1/2
        s[i][j]= fsolve( func, np.log(2) )
        s_approx[i][j] = np.log(2*(1-D*d*np.log(2) + 0.5*(d*np.log(2))**2))

fig1, ax = pl.subplots()
C = ax.contourf(X,Y,abs(s-s_approx), np.arange(0, 0.1, 0.001))
cbar = fig1.colorbar(C)
pl.xlabel('wd/ws')
pl.ylabel('D/S')
pl.show()

Ce qui donne le graphique de l'erreur commise ci-dessous:

**gloussou** · 14/05/2024, 20h30

Wow, je suis impressionné!

Si je comprends bien, dans le domaine bleu du graphique de l'erreur commise, on peut approcher le temps de demi-décroissance (t1/2) par

ln( 2* [ 1 - (D/S)*(wd/ws)*ln(2) + 0.5*((wd/ws)*ln(2))^2 ] ) / ws

avec :

ws= (1/A2+1/B2)/2
wd=(1/A2-1/B2)/2
S=(A1+B1)/2
D=(A1-B1)/2

**erff** · 14/05/2024, 21h35

Bonsoir,
Oui c'est à peu près ça. Et d'ailleurs en me relisant je me rends compte que le DL n'apporte rien puisqu'il suffit d'approximer par T = ln( 2*( cosh(wd/ws * ln(2)) - (D/S)*sinh(wd/ws*ln(2)) ) ) ce qui semple donner quasi la même chose en terme d'erreur.
Mais je rejoins ce qui est écrit plus haut : si tu peux te permettre d'utiliser un solveur (quasi tous les logiciels en ont un, même excel), autant le faire car là c'est vraiment la méthode du pauvre ; en fait il s'agit de la première itération de ce que donnerait un solveur naïf.

Car si on veut résoudre A(T)*B(T) = C avec B(T)=1+b(T) et |b(T)| << 1 dans le domaine d'intérêt, et avec A(T)=X qu'on sait résoudre à la main pour tout X non dépendant de T (notons A'(X) la solution), alors une approche itérative consiste à calculer manuellement les termes de la suite :
T[0] = A'(C)
T[n+1]=A'(C/B(T[n]))

On voit que si la suite converge - ce que je ne prouve pas, et j'ignore si c'est vrai - alors elle converge vers une solution de l'équation de départ.

Ici, C=1/2
T[0] = ln(2)
T[1] = ln( 2*( cosh(wd/ws * T[0]) - (D/S)*sinh(wd/ws*T[0]) ) ) => C'est l'approximation que je propose
T[2] = ... etc...

Résolution d'une équation