Détermination équation courbe en "S"

[Dubuis]

Bonjour


Comment déterminer l'équation de la courbe en "S" de diffusion de l'innovation établie par Rogers?


Cette courbe est exprimée en fonction:
- de 5 catégories d'acheteurs
- de la part (en % de la totalités des clients potentiels) contenue dans chaque catégorie
- du temps d'adoption par 100% des acheteurs.

Dans l'hypothèse ou la totalité des clients potentiels serait atteinte en "n " mois (dans cet exemple = 24) comment calculer l'équation de cette courbe en sachant que:
- x = n°mois (nombre entier / dans cet exemple de 0 à 24)
- y = % du total des clients potentiels
- pour x=0 valeur de y=0
- l'intégrale (mois 1 à 24) = 100 (sauf erreur de ma part)

NB: le nombre de mois "n " pour atteindre la totalité des acheteurs sera un paramètre qui permettra de faire varier le délai d'adoption (en mois) par la totalité des acheteurs


Merci
-----

[gts2]

Bonjour,

Cela ne ressemble pas vraiment à un S mais plutôt à une gaussienne : wikipedia

[Dubuis]

En effet..... comme le confirme Wikipedia.
Mes notions de mathématiques sont trop anciennes

Et comment peut-on faire pour déterminer l'équation de cette courbe Gaussienne?

[gg0]

Effectivement, les pourcentages affichés laissent penser à l'utilisation subreptice d'une gaussienne (tronquée). La courbe en S est plutôt une primitive de la fonction dont la courbe est affichée. Cependant, on utilise plus souvent le modèle logistique : Wikipédia.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[MissJenny]

c'est un modèle "conceptuel", il n'y a pas de moyens de déterminer une équation pour cette courbe.

[gts2]

C'est un modèle conceptuel, mais les courbes tracées sont bien des gaussiennes et si on ajuste on trouve un écart-type qui correspond pile au 34% et deux écart-types 13,5%, ce qui collent avec la fonction de répartition.

[gts2]

Et comment peut-on faire pour déterminer l'équation de cette courbe Gaussienne ?

Dans

μ correspond au maxi de la courbe et σ correspond à la distance des 34%

[Dubuis]

Merci pour ces pistes d'investigations.


En parcourant les liens Wikipedia attachés à https://fr.wikipedia.org/wiki/Foncti...que_(Verhulst) il semblerait que cela ce que je recherche se rapprocherait du Modèle de Diffusion de Bass https://fr.wikipedia.org/wiki/Mod%C3...fusion_de_Bass (cité en fin d'article) et dont les paramètres peuvent être interprétés en terme d'innovateurs et de suiveurs.


Si j'utilise ce modèle pensez-vous que je peux remplacer:
- M (potentiel du marché) par 100 (qui serait un indice de base)
- N(t-1) par N(m-1) qui serait le nombre cumulé d'acheteurs jusqu'au mois (m- 1) (en remplacement de l'année (t-1)
tout en conservant les mêmes valeurs pour les coefficients "p" (d'innovation) et "q" (d'imitation)


Pensez-vous qu'avec ces "adaptations" ce modèle continuerait à fonctionner correctement?

[Dubuis]

Je ne trouve pas dans https://fr.wikipedia.org/wiki/Foncti...que_(Verhulst)

pour la valeur de σ que veut dire " correspond à la distance des 34% " ??

[Kondelec]

Comment déterminer l'équation de la courbe en "S" de diffusion de l'innovation établie par Rogers?

y = 1 / exp (-x²)

[Dubuis]

y = 1 / exp (-x²)

Intéressant!

x serait le N° du mois.

Mais traduit en formule Excel ça donnerait quoi?

[gg0]

La fonction logistique n'est pas la fonction de Gauss.

[Kondelec]

il faut centrer au milieu de l'année, puis ajouter un facteur qui va "élargir" la gaussienne ; en fait on fait simplement varier l'écart type.
J'ai fais une feuille excel.

[gts2]

Je ne trouve pas dans https://fr.wikipedia.org/wiki/Foncti...que_(Verhulst)

J'ai donné l'équation de votre courbe (message #1), la courbe en S (logistique) est l'intégrale de celle que vous avez donnée (en fait pas vraiment mais même allure)

pour la valeur de σ que veut dire correspond [/SIZE]à la distance des 34% " ?

Voir le dessin joint :

[gts2]

Si j'utilise ce modèle pensez-vous que je peux remplacer:
- M (potentiel du marché) par 100 (qui serait un indice de base)
- N(t-1) par N(m-1) qui serait le nombre cumulé d'acheteurs jusqu'au mois (m- 1) (en remplacement de l'année (t-1)
tout en conservant les mêmes valeurs pour les coefficients "p" (d'innovation) et "q" (d'imitation)

Le temps caractéristique est 1/(p+q), si vous passez en mois, il va donc falloir diviser p et q par 12.

[Biname]

Salut,
On connait la moyenne 50 et l'écart-type 34, non ?
https://www.wolframalpha.com/input?i...50+sigma+%3D34

[gg0]

Heu ... pour une gaussienne, un écart type de 34 donne un intervalle à 3 sigmas de -52 à 152. C'est bizarre, pour des pourcentages de la population.
Non, le 34 est le pourcentage de la population entre m-sigma et m, l'aire sous la courbe correspondante.

Cordialement.

[gg0]

Comme le disait Miss Jenny, il s'agit d'un modèle conceptuel, d'une illustration de ce qui se passe, qui semble dire que les différentes phases se passent dans les mêmes durées de temps. En fait, les exemples de l'automobile (de 1890 à 1920 pour la première période, 1920 à 1960 pour la deuxième, 1960 à 1980 pour la troisième, 1980 à 1990 la quatrième et la dernière n'est pas finie - il y a même diminution du nombre d'utilisateurs) et du smartphone montrent qu'il n'y a pas égalité des temps.
Mais la courbe gaussienne fait tellement "scientifique" qu'elle ressort partout (*) même là où il n'y a aucune raison !

Cordialement.

(*) sauf justement en science dure, où les modèles doivent être justifiés et efficaces.

[gts2]

On connait la moyenne 50 et l'écart-type 34, non ?

L'axe est un axe temporel (dN/dt=f(t) pour le dessin initial et N=f(t) pour la sigmoïde), donc la moyenne est l'instant correspondant au maxi qui peut correspondre à n'importe quoi selon l'origine des temps que l'on prend.
Le 34% du dessin initial n'est pas l'écart type mais l'aire entre la courbe et l'axe pour t variant de m à m+sigma.

[Biname]

Heu ... pour une gaussienne, un écart type de 34 donne un intervalle à 3 sigmas de -52 à 152. C'est bizarre, pour des pourcentages de la population.
Non, le 34 est le pourcentage de la population entre m-sigma et m, l'aire sous la courbe correspondante.
Cordialement.

Oui, erreur : 34.1...% est la valeur remarquable des tables de la loi normale pour 1 écart-type (intégrale entre moyenne et sigma). Ici, la moyenne vaut 50 et l'écart type 1, l'image du msg #1 est une des représentations habituelles de la loi normale.

[Dubuis]

Bonjour à tous

Je tenais à tous vous remercier pour les différentes réponses argumentées que vous avez apportées à ma question.

Il est vrai que la courbe support de ce sujet n’est qu’un « … modèle conceptuel de ce qui se passe ….» et qui a été constaté empiriquement. Mais s’agissant d’un modèle de comportement humain, si on voulait être rigoureux (scientifique ?) il faudrait pouvoir tenir compte de nombreux facteurs généraux (culturels, économiques, contextuels, etc.) mais également de facteurs plus spécifiques au marché concerné (cycles de vente, type de distribution, positionnement tarifaire, etc.). Dans ce cadre, autant dire qu’en la matière je ne pense pas qu’on puisse parler d’une démarche scientifique de ma part au sens pure et noble du terme.

Le but initial était de pouvoir disposer d’une modélisation mathématique :
- identifiée et reconnue par le plus grand nombre.
- applicable sur différentes tranches de populations, périodes (mois, trimestres, années, etc.) et durées.
- permettant d’imaginer différents scénarii de résultats, des plus pessimistes au plus optimistes.
L’ensemble de ces options de configurations se devait par ailleurs d’être facilement et rapidement mises en œuvre par le non mathématicien que je suis.

J’ai pris le temps de les étudier et de les mettre en œuvre avec plus ou moins de succès pour voir celle qui répondrait le mieux à mes besoins.

Chacune avait leurs avantages et leurs inconvénients. Mais celle qui se rapproche le plus de mes objectifs de départ est celle proposée par Kondelec avec l’équation y = 1/exp (-x²).
Elle permet en particulier de mettre en œuvre facilement et rapidement différentes configurations tout en conservant graphiquement le modèle de départ. Même si la représentation graphique que j’ai proposée reste sujette à débat (ce que je reconnais volontiers) elle est largement exploitée depuis des décennies dans le monde du marketing commerciale. Ce qui facilite sa compréhension et son acceptation tout en l’autorisant à être enrichie au besoin par différents paramètres.

Je tenais donc à tous vous remercier pour votre aide qui en moins de 48H m’a permis d’obtenir différentes solutions pour répondre à mes questionnements sur le sujet de mon post.

[gts2]

Pour ce qui est de la solution 1/exp (-x²) c'est de la syntaxe Excel à comprendre comme 1/exp ((-x)²) autrement dit en syntaxe mathématique "normale" exp(-x^2)

[Biname]

Salut,
Dans ce problème, on connait des points de la fonction de répartition, mais pas la densité de probabilité.
Ici, on fait une régression polynomiale de degré 7 pour la fonction de répartition sur base des points de la loi normale et des tangentes aux extrémités.
Avec gpt, on a obtenu ceci (qui n'est pas parfait :

 Cliquez pour afficher

pour les fonctions

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Polynôme répartition :
P = -61*x**7/1440 - 83*x**6/720 + 97*x**5/180 + 101*x**4/144 - 7279*x**3/1440 - 211*x**2/360 + 4627*x/120 + 50
Dérivée première du polynôme :
P' = -427*x**6/1440 - 83*x**5/120 + 97*x**4/36 + 101*x**3/36 - 7279*x**2/480 - 211*x/180 + 4627/120

[gts2]

Si on ajuste à une fonction logistique , on trouve a=154 r=1,68 (axe x arbitraire) ce qui donne (en changeant une nouvelle fois l'axe x) :



Graphe sur laquelle on a tracé une gaussienne qui est finalement assez proche.

[Biname]

Salut,
gts2 msg #24, on en fait des choses avec nos outils.
Mais , en regardant bien l'image du msg #1, on voit que la courbe voulue n'est pas symétrique : les 50% de gauche s'étalent sur 3 écarts types et les 50% de droite sur 2 écarts types, ce qu'essaye de faire mon msg précédent (il aurait fallu ajouter la contrainte de la dérivée seconde nulle aux extrémités ...).

On avait aussi essayer cos², la qualité du résultat dépend de la plage considérée :

 Cliquez pour afficher

LN_vs_Cos_3ET.jpg
LN_vs_Cos_5ET.jpg

[Kondelec]

Un polynôme d'ordre 7 pour fitter 6 points ?

[gts2]

6 points + les 2 tangentes = 8 données pour déterminer 8 paramètres.

[gts2]

la qualité du résultat dépend de la plage considérée

Oui, mais comme dit par @MissJenny c'est un modèle conceptuel et pour illustrer ils ont copier-coller une courbe de Gauss.

Quand on cherche de "vraies" courbes, l'allure est, bien sûr, moins "propre".

[Biname]

msg #26 et#27
On est passé par ces étapes

prompt 1 : Python une régression : tgte horiz en x=-3, y=0 ; pt(-2, 3) ; pt(-1, 16) ; pt(0, 50) ; pt(1, 84) ; tgte horiz (2, 100)

 Cliquez pour afficher

Code_1.jpg

prompt 3 : Régression polynomiale degré variable init 5

 Cliquez pour afficher

Code_3.jpg

prompt 4: Ca marche ! Mais il n'y a pas tangence aux extrémités ! Ca sent l'ED

 Cliquez pour afficher

Code_4.jpg

Après ce fut plus laborieux.

[Kondelec]

Quoiqu'il en soit fitter avec un polynôme d'ordre élevé est une drôle d'habitude, il suffit de prolonger la courbe un petit peu plus loin que le dernier point pour constater ce qui se passe...
Pourquoi ne pas utiliser une fonction qui se comporte de la même façon que le phénomène que l'on veut modéliser.