Bonjour,
Je bloque sur cet exercice, j’ai essayé le raisonnement par absurde par tous les moyens sans résultat, j’ai pensé aussi à la méthode de la descente infinie mais je ne suis pas arrivée. Merci de m’aider .
Enoncé:
n un entier naturel non nul, et d1, d2 deux diviseurs distincts de 2n^2-1 .
Montrer que d1 et d2 ne peuvent avoir le même reste de la division euclidienne par 2n.
soitEnvoyé par Martine
si d1 divise An, alors il existe q1 tel que. Donc, d'après Bezout .... etc ....
There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.
Oui ceci est clair mais he ne vois pas comment cela peut me faire avancer. Pardon. Certainement la méthode de descente infinie mais quel nouveau couple solution? Je m’égare peut-être
quelqu'un a trouvé la solution de ce problème? j'y ai pensé longtemps mais sans aucun résultat...
Bonjour MissJenny,
Cela m’a pris beaucoup de temps pour trouver une solution, je la posterai dans peu de jours .
Bonjour,
Je pense que la solution n'arrivera pas
Voici une proposition :
Soient d1 et d2 des diviseurs distincts de 2n²-1. Écrivons d1=d*d1' et d2=d*d2' où d=pgcd(d1,d2)
Comme le remarquait jacknicklaus, avec Bézout, d1 et d2 sont premiers avec 2n. Donc d est aussi premiers avec 2n.
Supposons que les restes de la division par 2n sont identiques, càd que d1=k*2n+a, et d2=k'*2n+a avec a#0 et k#k'
Alors d1-d2=d(d1'-d2') divise 2n donc d divise 2n. Mais d est premier avec 2n donc d=1 donc d1 et d2 sont premiers entre eux, et donc d1*d2 divise 2n²-1.
Si on effectue le produit : d1*d2 = (k'*2n+a)(k'*2n+a)=(2*k*k')*2n ² + a*2n(k+k')+a². Alors k=0 ou k'=0 (un diviseur ne peut être plus grand que le nombre qu'il divise) - disons sans perte de généralité que k'=0 (et donc k#0 car k#k').
Donc d1*d2=a*(2n*k + a) donc a divise 2n²-1 donc k*2n=d1-a divise 2n²-1 donc 2n divise 2n²-1 ce qui est absurde car (2n²-1) et 2n sont premiers entre eux, et que 2n#1 pour tout n.
Sauf erreur ...
Bonne journée
Dernière modification par erff ; 21/04/2024 à 11h31.
