changement de Variable en algèbre ?

[MoA94]

Bonjour à tous,
Je viens d'effectuer un devoir d'algèbre linéaire (début de l'algèbre), et il y avait une famille (g_0,g_1,g_2, ..., g_n)
tel que pour tout i dans l'intervalle entière [0,n]: on a g_i:{ R ->R ; x-> cos(x)^i
Ainsi, sachant que la fonction g_i a au moins les mêmes propriétés d'une fonction polynomial, est ce qu'il est possible de montrer la liberté de la famille en utilisant les polynômes, en disant que c'est une famille échelonné en degré et que donc elle est libre ? et si oui, comment pourrais-je justifier un tel raisonnement ?
Est ce que montrer que l'ensemble des g est un sev des R[X], permet de faire ça ?
-----

[MissJenny]

la fonction g_i a au moins les mêmes propriétés d'une fonction polynomial

qu'entends-tu par là?

[MoA94]

Ce que je veux dire c'est que:
Par exemple on peut noter cos(x)^i.cos(x)^l=cos(x)^l+i, ce qui est la propriété de l'exponentiation présente aussi dans les polynômes , mais ne prenons pas en compte les propriétés trigonométrique de la fonction cos car elle m'est inutile pour montrer la liberté de cette manière.
Ainsi, si je venais à poser le changement de variable suivant: soit X=cos(x), j'ai donc pour ma famille (g_0,g_1,g_2, ... , g_n) la nouvelle famille libre suivante: (1,X,X^2, ... , X^n).

Je sais très bien que c'est beaucoup trop expéditif et que je ne justifie pas que les espaces vectoriels sont les mêmes, et que donc ça rendrait faux ce point de vue.
Cependant j'imagine qu'il y a bien un lien qui existe entre les fonctions g_i et les polynômes: celui de la composition de fonction.
Ainsi, si je compose une fonction polynomial par une autre fonction quelconque ne modifiant pas les ensembles de départ et d'arriver, je garde les mêmes propriétés des polynômes. Mais en est-il de même pour les propriétés de l'ev, et est-ce que l'ensembles des g_i n'est pas un sev de R[X] par extension ?

Désolé, je sais que je ne serai peut être pas très clair, mais c'est tracassant de voir cela, parce que l'une des questions que je veux preshot est de montrer que Vect(g_0,g_1,g_2, ... , g_n) est de dimension n+1, ce qui me facilite donc l'étude, me fait donc gagner du temps si je suis sur un devoir ou au concours.

[gg0]

Bonjour.

A priori, tu ne vas pas pouvoir faire une preuve correcte, les preuves s'organisant autour de théorèmes, pas de ressemblances. Et comme ton changement de variables n'est pas linéaire, tu sors de l'algèbre linéaire.
On peut d'ailleurs raconter la même chose avec une fonction constante à la place de cos, alors que le système ne serait pas libre
Une preuve rapide serait, avec une combinaison linéaire nulle de tes g_i, de prendre n+1 valeurs entre, disons 0 et pi, de poser le système, et de voir que la matrice du système est une matrice de Vandermonde inversible (puisque cos étant strictement décroissante, les valeurs sont distinctes), donc qu'il n'a que la solution nulle. Là, tu es dans la mise en œuvre des règles mathématiques.

Il arrive souvent qu'on ait des certitudes comme dans ton cas ("c'est normal parce que..."), mais comme les mathématiques mettent à l'épreuve de façon très forte les certitudes (*), on peut avoir de grosses difficultés à trouver une vraie preuve.

Cordialement.

(*) et parfois les révèlent fausses !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

Algèbre linéaire donc linéarisation du cosⁱ, via les exponentielles par exemples et voir si ça marche.

[GBZM]

Bonjour,
Je n'utiliserais ni Vandermonde (un peu hard pour un début d'algèbre linéaire) ni linéarisation des puissances du cosinus (ça ne me semble pas mener à une solution aisée).
Mais simplement un raisonnement par récurrence sur . L'initialisation est immédiate. Pour l'hérédité, on suppose que c'est vrai pour , on écrit une relation de dépendance linéaire et ensuite :
- on commence par montrer ,
- on dérive ce qui reste, on divise par et on utilise l'hypothèse de récurrence.

[Archi3]

il me semble que l'idée de départ de remplacer les cos(x) par un polynôme X est quand même bonne : si on avait une C.L. de cos^i x identiquement nulle, cela voudrait dire qu'on aurait une polynôme de degré N identiquement nul sur [-1,1] puisque cos x réalise une surjection de IR sur [-1;1]. Dans ce cas tous les polynômes dérivés seraient identiquement nuls et on a aboutit a une contradiction (ou pareil par récurrence mais sans s'embêter avec les sin et les cos)

[gg0]

Rédige une preuve. Pour l'instant, tu te contentes d'une intuition.

[Archi3]

pff... tu vas m'obliger à faire du LaTEX...

Supposons qu'on ait une CL de puissance de cos(x) nulle , donc .

Comme cos(x) est une surjection de IR vers [-1,1], il s'ensuit que . Il s'ensuit donc que le polynôme s'annule sur tout l'intervalle [-1,1]. Par suite toutes ses dérivées sont nulles, en particulier la dérivée d'ordre n qui vaut . D'où . Il est facile après en considérant les dérivées d'ordre n-1, n-2 .. par récurrence descendante de voir que tous les autres coefficients sont aussi nuls.

[GBZM]

@Archi3 : c'est une autre possibilité, mais alors il n'y a besoin ni de dérivée ni de récurrence : un polynôme qui a une infinité de racines est le polynôme nul.

[gg0]

Avec une preuve, pas besoin de baratin ...
Et là, je te suis sans problème.

Cordialement.

[Archi3]

@Archi3 : c'est une autre possibilité, mais alors il n'y a besoin ni de dérivée ni de récurrence : un polynôme qui a une infinité de racines est le polynôme nul.

oui effectivement ça suffit pour prouver qu'il est nul.