Ensemble fermé

[LouisMPSI]

Bonjour,

Un exercice demande de prouver qu'une partie de est la boule unité fermée d'une norme de si et seulement si est convexe, compacte, symétrique par rapport à l'origine et d'intérieur non vide.

Dans la réciproque on fait intervenir l'ensemble qui est en fait un intervalle puisque comme est convexe et contient l'origine (par symétrie et convexité), si , alors . Ensuite comme est compacte, elle est bornée, donc il existe tel que pour tout . Si , alors . On peut alors poser , qui est un réel strictement positif. Ensuite on dit que comme est compacte, elle est fermée et donc est aussi fermé, et est donc égal à .

C'est ce dernier point que je ne comprend pas, pourquoi si est fermée, on peut dire que l'est aussi ?

Merci d'avance
-----

[JB2017]

Bonjour
Si tu prends une suite u_n>N(x) qui converge vers N(x). Alors la suite x_n=x/u_n est dans B est converge vers x/N(x). Une suite dans B qui converge a sa limite dans B car B est fermé. On a bien x/N(x) dans B et donc N(x) est dans I_x

[LouisMPSI]

Oui, merci