Bonjour,
Dans le cadre de quelques révisions je bloque sur deux petites démonstrations.
1) Montrer qu'un ensemble est infini ssi il existe une application injective de N (les entiers naturels) dans cet ensemble.
2) Montrer qu'un ensemble est infini ssi il existe une application surjective de cet ensemble dans N.
Je voulais procéder par double implication mais je ne trouve ni un sens ni l'autre, auriez vous quelques pistes s'il vous plaît ?
salut,
quelle définition d'un ensemble infini utilises-tu? parce que 1) pourrait être pris comme définition, en tout cas c'est l'idée intuitive qu'on se fait d'un ensemble infini: on peut énumérer ses éléments les uns après les autres sans arriver à la fin.
je pense que la définition est "un ensemble infini est un ensemble qui n'est pas fini"
je pense que la définition est "un ensemble infini est un ensemble qui n'est pas fini"
y a t'il des implications que tu as réussit à prouver ? (certaines sont vraiment évidentes...)
edit : désolé pour le message intermédiaire inutile j'avait pas vu que je l'avais posté
Et quelle est la définition d'un ensemble fini ? Parmi les définitions possibles il y a l'existence d'une bijection avec un segment initial propre de IN (et l'exercice doit être assez facileEnvoyé par Ksilver
), mais je préfère celle de Tarski : Un ensemble est fini si et seulement si toute famille non vide de ses parties admet un élément minimal pour l'inclusion (et l'exercice devient moins évident).
La définition de Dedekind nécessite l'axiome du choix (pour correspondre aux précédentes)
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
je pense qu'ici il s'agit de l'existence d'une bijection avec un segment initiale de N ^^
C'est bien ça ici
Mes autres données sont:
- Un ensemble en bijection avec un ensemble infini est infini.
- N est infini.
- Un ensemble contenant un ensemble infini est infini.
Je n'ai toujours pas trouvé comment démontrer ces deux choses.
Indication : si il existe une injection f de IN dans E, cette injection est une bijection de IN dans im(f) qui est inclu dans E, je te laisse finir.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Ah merci, je n'avais pas pensé à voir ça comme ça.
Donc pour la deuxième partie de 1)
f est une injection, donc im(f) a autant d'éléments que IN, donc im(f) est infini, de plus im(f) est inclus dans E, donc E est infini.
Et pour la deuxième partie de 2)
f est une surjection de E dans IN, donc E a au moins autant d'éléments que IN, donc E est infini.
Par contre pour les deux premières parties (l'implication de gauche à droite), je n'ai pas encore trouvé l'astuce.
Quelqu'un aurait une idée sur ceci:
1)un ensemble est infini implique qu'il existe une application injective de IN dans cet ensemble.
2)un ensemble est infini implique qu'il existe une application surjective de cet ensemble dans IN.
Bonsoir à tous
j'ai lu ceci quelque part: un ensemble E est infini ssi il existe une bijection de IN dans cet ensemble i.e on peut numéroter ses elements.
1) il existe une bijection de IN dans E implique E est infini (evident)
2) E est infini et on doit montrer l'existence de la bijection, je trouve qu'on peut bien numeroter les elements de E (par les entiers de N) mais je ne sais pas comment montrer l'existence de la bijection .
trouve donc une bijection entre N et R
École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale
Je pense c'est la même chose, et c'est peut être ainsi qu'on dit que R est infini. la numerotation des reels par des entiers naturels distincts est une application de N dans R injective par sa construction mais je ne sais pas comment demontrer la surjectivite mais on peut tout simplement dire à chaque réel on peut associer un antécedent entier et on peut toujours le trouver puisque N est infini. Quelqu'un a une idée?
Et pour cause, cette application n'est pas surjective : Argument de la diagonale de Cantor
Excusez moi je ne savais pas qu'il existe des ensembles appelés non dénombrables. En plus le théorème de Cantor nous permet de dire qu'il n'existe aucune bijection de E dans P(E). même si E est infini.
Je n'ai toujours pas vraiment compris comment démontrer ceci.
Encore un petit coup de main svp ?
Personne ?
Avec axiome du choix ou sans axiome du choix ?
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je ne sais pas de quelle définition d'ensemble infini il faut partir, je prends la suivante :
E est infini s'il existe une bijection f entre E et une de ses parties propres.
Pour la première question :
Soit x € E\f(E), et g la fonction de N dans E telle que g(n) = f^n(x).
Alors g convient (à montrer...)
Pour la deuxième question :
Il existe une application g : N->E injective, d'après la question d'avant.
Alors soit h la fonction E->N définie de la façon suivante :
h(x) = g^(-1)(x) si x€g(N)
h(x) = 0 sinon
Alors h convient (à montrer aussi...)
hmm pardon, je viens de voir que la définition à utiliser est : E est fini si et seulement si il est en bijection avec {1,...,n}
C'est donc à adapter...
à voir !
Je n'ai jamais entendu parler de l'axiome du choix, donc plutôt sansAvec axiome du choix ou sans axiome du choix ?
J'avoue ne pas y comprendre grand chose ... je n'ai jamais utilisé cette définition d'ensemble infini.
Je commence à désespérer de trouver un jour la réponse à ce bidule ...
Salut,
Le problème est qu'avec ta définition de l'infini, il n'est pas possible de se passer de l'axiome du choix...
