en quoi consiste le calcule d'intégrale

[qwerty azerty]

Bonjour, je suis actuellement en terminale et je peaufine mon sujet de grand orale sur les intégrale. J'ai bien compris que le calcule intégrale est une somme de valeurs infinitésimales. Néanmoins je ne comprend pas bien à quoi correspondent exactement ces valeurs. J'ai compris qu'elles sont l'aire de rectangles infinitésimaux présents sous la courbe représentative de la fonction considérée et donc que lorsque la largeur de ces rectangles tend vers zéro, leur nombre tend vers + l'infini et que leur somme tend vers une limite finie qui est l'intégrale et donc l'aire sous la courbe de la fonction considérée. J'ai cependant lu plusieurs fois que ces valeurs étaient liée à une histoire de tangente. Ces valeurs correspondent donc t-elles à la pente de la tangente à la courbe de la fonction au point d'abscisse dx ?

Mercis du temps que vous consacrerez à ma question.
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[albanxiii]

Bonjour,

L'approche "aire sous la courbe" est tout à fait correcte.
Quand on parle de tangente c'est plutôt en rapport avec l'opération de dérivation (le nombre dérivé d'une fonction en un point est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction en ce point).
Sinon, dérivation et intégration sont liées, c'est le théorème fondamental de l'analyse https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...de_l%27analyse

Peut-être pouvez-vous préciser votre message ?

[qwerty azerty]

Oui bien sur. je ne comprend pas bien ce qui a "derrière" le calcule d'une intégrale à part une somme. Ma question est qu'est-ce que nous additionnons ?

[gg0]

Bonsoir.

Le terme "additionner" n'est pas le bon, celui qui convient c'est "cumuler" (assez proche de accumuler, mais sans le sens personnel). Si tu reçois régulièrement de l'argent sans le dépenser, tu vas le cumuler. L'opération mathématique correspondante est l'addition. mais si tu reçois quelque chose de façon continue, par exemple tu as un réservoir qui va se remplir peu à peu en fonction du niveau d'une rivière qui passe à côté, tu n'as plus rien à additionner, tu vas cumuler l'eau. L'opération mathématique associée est l'intégrale (l'intégrale du débit d'eau qui rentre dans le réservoir).
Ayant enseigné pendant presque 40 ans, je n'aime pas l'image de l'aire pour l'intégrale, on ne voit pas ce qu'on cumule. Et comme on y rajoute les méthodes de calcul approché genre "rectangles", qui utilisent des sommes, on met en place un gros défaut de compréhension. L'idée du cumul d'une quantité continue est, pour les début de l'intégration, bien plus efficace. Ainsi, en cumulant de l'intensité électrique, on obtiendra une quantité d'électricité (cours d'électrodynamique en L1), en cumulant de la vitesse, on obtiendra de la distance parcourue, en cumulant de la densité on obtiendra la masse totale, etc.
Et il y a effectivement un lien avec la dérivation, au moins à petit niveau, car on peut présenter toutes ces situations dans le schéma : telle quantité I est la dérivée de telle autre Q en fonction de telle variable v. Alors Q, sur une certaine variation de v, est l'intégrale de I(v).
A plus haut niveau, on intégrera des processus plus du tout continus, et on ramène même les sommes à un cas particulier d'intégrale !

Pour l'instant, retiens l'idée de cumul.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[qwerty azerty]

Tout d'abord, mercis beaucoup de votre réponse mais pourriez-vous réexpliquer cette phrase s'il vous plais?

telle quantité I est la dérivée de telle autre Q en fonction de telle variable v. Alors Q, sur une certaine variation de v, est l'intégrale de I(v).

Je ne comprend pas très bien pourquoi I(v) serait une intégrale.

[gg0]

Tu as lu de travers. Le sujet de "est" dans "Alors Q, sur une certaine variation de v, est l'intégrale de I(v)", c'est Q.
Relis correctement. Je ne fais en fait que reprendre un théorème classique de terminale, rappelé ci-dessus par Albanxiii, et qui est la méthode de calcul des intégrales en terminale : Utiliser une primitive.
Tu as d'ailleurs intérêt à bien connaître le lien dérivation/intégration au travers de la notion de primitive. Au fait, c'est quoi une primitive ?

[qwerty azerty]

La primitive d'une fonction f est une fonction qui lorsqu'on la dérive, est égale à f. Elle permet de cumuler les valeurs des pentes des tangentes à la courbe représentative de f pour des variations infinitésimales de v. Ce cumul est donc l'intégrale de f.
C'est du moins comme cela que je le comprend.

[gg0]

Là aussi, la seule interprétation géométrique de la dérivée gêne la compréhension. La dérivée est tout simplement la vitesse de variation de la fonction (voir la définition comme limite d'un taux d'accroissement, taux qui est une vitesse moyenne d'augmentation). Le cumul de vitesse d'accroissement donne bien l'accroissement total.

Attention, dans ton message (#7), tu as mélangé le rôle de f, qui est une dérivée, avec celui de la primitive. Ce ne sont pas les pentes des tangentes à la courbe de f ui sont cumulées, ce sont les valeurs de f directement (que tu peux assimiler à des pentes de tangentes) qui sont cumulées.

[qwerty azerty]

Mercis Infiniment de votre aide. Normalement je serais prête pour mon grand oral.
Très bonne soirée.